Эконометрика — ФЭН, 2021 demo final

Пусть

$$D(X)=4,\qquad D(Y)=8,\qquad \operatorname{cov}(X,Y)=-1.$$

Чему равна корреляция

$$\operatorname{corr}(X-2Y+2021,\;3X-4Y-2022)?$$

A. $0.9917$
B. $0.01144$
C. $0.5917$
D. $0.7917$
E. Нет правильного ответа.

Пусть случайная величина $X$ имеет стандартное нормальное распределение.

Чему равна точка $c$, для которой

$$P\{X>c\}=0.1?$$

A. $1.2816$
B. $-1.2816$
C. $1.6449$
D. $-1.6449$
E. Нет правильного ответа.

Пусть случайная величина $X$ имеет $t$-распределение с тремя степенями свободы.

Чему равна точка $c$, для которой

$$P\{-c<X<c\}=0.95?$$

A. $3.1824$
B. $2.3534$
C. $1.6377$
D. $1.9600$
E. Нет правильного ответа.

По какой формуле может быть вычислена мощность статистического теста?

A. $P\{\text{приняли }H_1\mid\text{верна }H_1\}$
B. $P\{\text{приняли }H_0\mid\text{верна }H_1\}$
C. $P\{\text{приняли }H_1\mid\text{верна }H_0\}$
D. $P\{\text{приняли }H_0\mid\text{верна }H_0\}$
E. Нет правильного ответа.

Пусть $X$, $Y$, $Z$ — независимые стандартные нормальные случайные величины.

Какое распределение имеет случайная величина

$$\frac{2X^2}{Y^2+Z^2}?$$

A. $F(1,2)$
B. $F(2,1)$
C. $N(0,1)$
D. $t(2)$
E. Нет правильного ответа.

Пусть задана регрессионная модель

$$Y_i=\beta x_i+\varepsilon_i.$$

Имеются наблюдения:

Чему равна МНК-оценка параметра $\beta$?

A. $\widehat\beta=1.5$
B. $\widehat\beta=1$
C. $\widehat\beta=0.5$
D. $\widehat\beta=2$
E. Нет правильного ответа.

Пусть задана регрессионная модель

$$Y_i=\beta x_i+\varepsilon_i.$$

Имеются наблюдения:

Чему равен вектор МНК-прогнозов $\widehat Y$?

A. $[1.5,\ 3.0,\ 4.5]^T$
B. $[1,\ 2,\ 3]^T$
C. $[0.5,\ 1.0,\ 1.5]^T$
D. $[2,\ 4,\ 6]^T$
E. Нет правильного ответа.

Пусть задана регрессионная модель

$$Y_i=\alpha+\beta_1x_{i1}+\beta_2x_{i2}+\varepsilon_i.$$

Имеются наблюдения:

Чему равна сумма квадратов МНК-остатков $RSS$?

A. $2$
B. $1$
C. $8$
D. $4$
E. Нет правильного ответа.

Пусть задана регрессионная модель

$$Y_i=\alpha+\beta_1x_{i1}+\beta_2x_{i2}+\varepsilon_i.$$

Имеются наблюдения:

Чему равен коэффициент детерминации $R^2$?

A. $0.8$
B. $0.9$
C. $0.2$
D. $0.6$
E. Нет правильного ответа.

Пусть задана регрессионная модель

$$Y_i=\alpha+\beta_1x_{i1}+\beta_2x_{i2}+\varepsilon_i,$$

причём

$$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\sim\operatorname{iid}(0,\sigma^2).$$

Имеются наблюдения:

Чему равна несмещённая оценка параметра $\sigma^2$?

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $1.5$
E. Нет правильного ответа.

Пусть задана регрессионная модель

$$Y_i=\alpha+\beta_1x_{i1}+\beta_2x_{i2}+\varepsilon_i,$$

причём

$$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\sim\operatorname{iid}(0,\sigma^2).$$

Дана матрица

$$\widehat V(\widehat\beta)= \begin{pmatrix} \frac13 & -\frac13 & 0\\ -\frac13 & \frac43 & -1\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$$

Чему равна оценка дисперсии

$$\widehat D(-\widehat\alpha+\widehat\beta_1+2\widehat\beta_2)?$$

A. $\frac{19}{3}$
B. $\frac{17}{3}$
C. $\frac{13}{3}$
D. $3$
E. Нет правильного ответа.

Пусть задана модель линейной регрессии

$$Y_t=\beta t+\varepsilon_t,\qquad t=1,2,$$

в которой случайные ошибки удовлетворяют условиям

$$E[\varepsilon_t]=0,\qquad D(\varepsilon_t)=\sigma^2,\qquad \operatorname{cov}(\varepsilon_s,\varepsilon_t)=0\quad\text{при }s\ne t.$$

Рассматривается оценка неизвестного параметра $\beta$:

$$\widetilde\beta= \frac{1\cdot Y_1+2\cdot Y_2}{1^2+2^2}.$$

Чему равно математическое ожидание оценки $\widetilde\beta$?

A. $\beta$
B. $2\beta$
C. $\frac53\beta$
D. $\frac35\beta$
E. Нет правильного ответа.

Пусть задана модель линейной регрессии

$$Y_t=\beta t+\varepsilon_t,\qquad t=1,2,$$

в которой случайные ошибки удовлетворяют условиям

$$E[\varepsilon_t]=0,\qquad D(\varepsilon_t)=\sigma^2,\qquad \operatorname{cov}(\varepsilon_s,\varepsilon_t)=0\quad\text{при }s\ne t.$$

Рассматривается оценка неизвестного параметра $\beta$:

$$\widetilde\beta= \frac{1\cdot Y_1+2\cdot Y_2}{1^2+2^2}.$$

Чему равна дисперсия оценки $\widetilde\beta$?

A. $\frac{\sigma^2}{5}$
B. $\frac{\sigma^2}{4}$
C. $\frac{\sigma^2}{3}$
D. $\frac{3\sigma^2}{5}$
E. Нет правильного ответа.

Рассматривается модель

$$Y_i=\alpha+\beta x_i+\varepsilon_i,$$

где

$$E[\varepsilon_i]=0,\qquad D(\varepsilon_i)=\sigma^2,\qquad \operatorname{cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0\quad\text{при }i\ne j.$$

При каких значениях $c_i$ несмещённая оценка

$$\widetilde\beta= \frac{\sum_{i=1}^n c_i(Y_i-\overline Y)} {\sum_{i=1}^n c_i(x_i-\overline x)}$$

имеет наименьшую дисперсию?

A. $c_i=x_i-\overline x$
B. $c_i=Y_i-\overline Y$
C. $c_i=1$
D. $c_i=(x_i-\overline x)^2$
E. Нет правильного ответа.

Рассматривается модель

$$Y_i=\beta x_i+\varepsilon_i,$$

где

$$E[\varepsilon_i]=0,\qquad D(\varepsilon_i)=\sigma^2,\qquad \operatorname{cov}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)=0\quad\text{при }i\ne j.$$

При каком условии на параметры $c_i$ оценка

$$\widehat\beta=\sum_{i=1}^n c_iY_i$$

окажется несмещённой?

A. $\sum_{i=1}^n c_ix_i=1$
B. $\sum_{i=1}^n c_ix_i=0$
C. $\sum_{i=1}^n c_i=1$
D. $\sum_{i=1}^n c_i=0$
E. Нет правильного ответа.

Оценивается зависимость количества продаваемых чебуреков, $qch$, от цены чебуреков, $pch$, цены шаурмы, $psh$, и цены мороженого, $pmor$, в виде линейной регрессии

$$qch_i=\alpha+\beta_1pch_i+\beta_2psh_i+\beta_3pmor_i+\varepsilon_i, \qquad i=1,\ldots,n.$$

Результаты оценивания:

Регрессионная статистика

Дисперсионный анализ

Оценки коэффициентов

На уровне значимости 5% укажите, какие переменные являются незначимыми.

A. $pmor$
B. $pch$, $psh$
C. $pch$, $psh$, $pmor$
D. Все переменные значимы
E. Нет правильного ответа.

Используется та же модель и те же результаты оценивания:

$$qch_i=\alpha+\beta_1pch_i+\beta_2psh_i+\beta_3pmor_i+\varepsilon_i, \qquad i=1,\ldots,n.$$

Регрессионная статистика

Дисперсионный анализ

Оценки коэффициентов

На уровне значимости 5% тестируется гипотеза

$$H_0:\beta_1=0$$

против гипотезы

$$H_1:\beta_1<0.$$

Укажите область, в которой гипотеза $H_0$ не отвергается.

A. $[-1.7396;+\infty)$
B. $[-2.1098;2.1098]$
C. $[-2.1098;+\infty)$
D. $(-\infty;1.7396]$
E. Нет правильного ответа.

По 12 наблюдениям оценивается нормальная классическая регрессионная модель.

Получено уравнение

$$\widehat Y=0.77+1.55x,$$

где стандартные ошибки равны

$$(0.22)\qquad(0.88).$$

Чему равно $P$-value для коэффициента при переменной $x$?

A. $0.1087$
B. $0.0385$
C. $0.0074$
D. $0.1674$
E. Нет правильного ответа.

По 20 наблюдениям оценивается нормальная классическая регрессионная модель с четырьмя факторами и константой.

В тесте на значимость уравнения регрессии наблюдаемое значение статистики равно

$$T_{\text{набл}}=2.96.$$

Чему равно соответствующее $P$-value?

A. $0.0548$
B. $0.0385$
C. $0.0074$
D. $0.1674$
E. Нет правильного ответа.

По 20 наблюдениям оценивается нормальная классическая регрессионная модель с четырьмя факторами и константой.

В тесте на значимость уравнения регрессии $P$-value равно $0.25$.

Чему равно соответствующее наблюдаемое значение тестовой статистики $T_{\text{набл}}$?

A. $1.5071$
B. $0.4801$
C. $2.4938$
D. $1.4305$
E. Нет правильного ответа.

Рассматривается модель регрессии

$$Y_i=\alpha+\beta_1x_{i1}+\beta_2x_{i2}+\beta_3x_{i3}+\varepsilon_i,$$

в которой ошибки $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ независимы и имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией $\sigma^2$.

Пусть

$$n=24,\qquad RSS=10.$$

Постройте 95%-й двусторонний симметричный по вероятности доверительный интервал для параметра $\sigma^2$.

A. $[0.2927;\ 1.0427]$
B. $[0.3184;\ 0.9216]$
C. $[0.5184;\ 0.9216]$
D. $[0.2927;\ 1.2427]$
E. Нет правильного ответа.

Найдите МНК-оценку $\widehat\theta$ в модели

$$Y_i=\frac{\theta+1}{x_i}+\varepsilon_i.$$

A.

$$\widehat\theta= \frac{\sum_{i=1}^n \frac{Y_i}{x_i}} {\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^2}}-1$$

B.

$$\widehat\theta= \frac{\sum_{i=1}^n \frac{Y_i}{x_i}} {\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^2}}$$

C.

$$\widehat\theta= \frac{\sum_{i=1}^n \frac{Y_i}{x_i}} {\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^2}}+1$$

D.

$$\widehat\theta= \frac{\sum_{i=1}^n Y_i} {\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$$

E. Нет правильного ответа.

Рассматривается модель линейной регрессии

$$Y_i=\alpha+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,n,$$

причём

$$\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n\sim\operatorname{iid}N(0,\sigma^2=4).$$

Объём выборки составляет 20 наблюдений.

Тестируется гипотеза

$$H_0:\alpha=0$$

против гипотезы

$$H_1:\alpha=1.$$

Предлагается критерий:

$$\begin{cases} \overline Y\leq0.5724 &\Longleftrightarrow \text{принимаем }H_0,\\ \overline Y>0.5724 &\Longleftrightarrow \text{принимаем }H_1. \end{cases}$$

Найдите вероятность ошибки первого рода и мощность критерия.

A. Вероятность ошибки первого рода равна $0.1$, мощность равна $0.83$
B. Вероятность ошибки первого рода равна $0.1$, мощность равна $0.87$
C. Вероятность ошибки первого рода равна $0.17$, мощность равна $0.83$
D. Вероятность ошибки первого рода равна $0.13$, мощность равна $0.87$
E. Нет правильного ответа.

Используя 200 наблюдений, исследователь оценил зависимость заработной платы индивидуума, $wage$, от уровня образования, $edu$, и возраста, $age$, в виде линейной регрессии

$$\widehat{wage}=8531+5060\,edu+1012\,age.$$

Затем исследователь решил провести тест на правильную спецификацию модели. Для этого он оценил вспомогательную регрессию

$$wage_i= \gamma+\delta_1edu_i+\delta_2age_i+\delta_3\widehat{wage}_i^{\,2}+u_i.$$

Какой тест собрался выполнить исследователь? Какова основная гипотеза в этом тесте?

A. Тест Рамсея; $H_0:\delta_3=0$
B. Тест Рамсея; $H_0:\delta_1=\delta_2=\delta_3=0$
C. Тест Бокса–Кокса; $H_0:\delta_3=0$
D. Тест Чоу; $H_0:\delta_1=\delta_2=\delta_3=0$
E. Нет правильного ответа.

На основе опроса 250 человек была оценена модель зависимости месячной зарплаты $W$ от уровня образования $Edu$ и возраста $Age$:

$$\widehat{\ln W} = 1.7+0.5Edu+0.06Age-0.0004Age^2.$$

Все переменные оказались значимыми.

Дайте экономическую интерпретацию коэффициента при переменной $Edu$.

A. При увеличении продолжительности образования на 1 год зарплата в среднем увеличивается на 6%
B. При увеличении продолжительности образования на 1 год зарплата в среднем увеличивается на 0.06%
C. При увеличении продолжительности образования на 1 год зарплата в среднем увеличивается на 600 рублей
D. При увеличении продолжительности образования на 1 год зарплата в среднем увеличивается на 0.6%
E. Нет правильного ответа.