Микроэкономика 1 — ФЭН, 2024 final

Митрофанушка хочет жениться. Единственные качества, которые интересуют его в будущей супруге, — это её красота ($B$) и доброта ($K$). Митрофанушка думает, что может выбирать из практически неограниченного числа девушек с любыми положительными значениями параметров $B$ и $K$. Его функция полезности имеет вид

$$U(B,K)=-(B-200)^2-(K-100)^2.$$

(А) (4 балла) На одном графике изобразите несколько кривых безразличия Митрофанушки. Можно ли утверждать, что его предпочтения строго монотонны?

(Б) (10 баллов) Приступив к поиску невесты, Митрофанушка узнал, что, во-первых, в губернии, где он ищет жену, живут только девушки с

$$0\leq B\leq 150$$

и

$$0\leq K\leq 100.$$

Во-вторых, любая девушка согласится выйти замуж за Митрофанушку, только если размер его «брачного капитала» больше или равен размеру её собственного. Размер брачного капитала девушки, измеряемого в «брачных рублях» ($M₽$), рассчитывается как

$$p_BB+p_KK,$$

где $p_B$ и $p_K$ — «цены» за единицу красоты и доброты в $M₽$. Пусть

$$p_B=1,\qquad p_K=1,$$

а брачный капитал Митрофанушки составляет $100\,M₽$.

Запишите задачу максимизации полезности Митрофанушки и найдите оптимальные значения красоты и доброты его будущей супруги.

Подсказка: на множестве реально доступных ему девушек его предпочтения можно считать стандартными.

Проиллюстрируйте свой ответ. График должен содержать бюджетную линию Митрофанушки, координаты набора свойств его оптимальной будущей жены и кривую безразличия, проходящую через этот набор.¹

(В) (8 баллов) Предположим, брачный капитал Митрофанушки возрастает до $120\,M₽$. Рассчитайте новые оптимальные значения красоты и доброты его будущей супруги при этих условиях.

К какой категории благ — товар роскоши, товар первой необходимости, инфериорное благо — относится красота? К какой из этих категорий благ относится доброта? Ваши выводы должны подкрепляться расчётами и использованием определений используемых микроэкономических терминов.²

(Г) (8 баллов) Предположим, брачный капитал Митрофанушки остался равным $100\,M₽$, но «цена» красоты возросла до

$$p_B^1=2$$

за единицу. Рассчитайте новые оптимальные значения красоты и доброты его будущей супруги при этих условиях.

Является ли доброта валовым субститутом красоты? Является ли доброта совершенным субститутом красоты? Ваши выводы должны подкрепляться расчётами и использованием определений используемых микроэкономических терминов.

Footnotes

1. Ограничьте график областью, в которой $B\leq 150$ и $K\leq 100$, так как более красивые или более добрые девушки существуют только в Митрофанушкином воображении. ↩

2. Поскольку процентные изменения переменных, описанные в этой задаче, достаточно большие, при необходимости воспользоваться значениями эластичности спроса Митрофанушки на красоту и доброту не используйте производные и рассчитывайте эластичность по дуговой формуле:

   $$\varepsilon_Y^X= \frac{X_1-X_0}{Y_1-Y_0} \cdot \frac{Y_0+Y_1}{X_0+X_1},$$

   где $X_0,Y_0$ — первоначальные значения переменной $X$ и параметра $Y$, а $X_1,Y_1$ — их новые значения. ↩

Иван распределяет $T$ часов между трудом ($L$) и досугом ($R$). Почасовая ставка заработной платы равна $w$. Кроме того, он получает нетрудовой доход $A$ от своих активов и имеет право на пособие по безработице ($U_0$), если не работает вообще. Его предпочтения стандартны и описываются функцией полезности $u(c,R)$, где $c$ — объём его расходов на потребление. Оба блага являются нормальными.

(А) (6 баллов) Дайте определение резервной заработной платы. Предположим, текущая ставка заработной платы $w_0$ в точности равна резервной:

$$w_0=w_{\mathrm{res}}.$$

Изобразите бюджетную линию Ивана и на том же графике нарисуйте самую высокую кривую безразличия, которой он может достичь в этом бюджетном множестве.

(Б) (6 баллов) Как изменится резервная заработная плата Ивана, если размер пособия по безработице сократится вдвое:

$$U_1=0.5U_0?$$

Проиллюстрируйте ваш ответ на графике из пункта (А).

(В) (10 баллов) Предположим, пособие по безработице по-прежнему составляет $U_0$, но зарплата Ивана увеличилась до такого размера $w_1$, что теперь он посвящает работе $2/3$ своего времени.

1. Если поднять зарплату ещё выше, до

   $$w_2=1.5w_1,$$

   можно ли с определённостью утверждать, что Иван станет работать больше, чем

   $$\frac{2}{3}T$$

   часов? Подробно объясните свой ответ, используя понятия эффекта замещения и эффекта богатства.

2. На новом графике проиллюстрируйте, как увеличение зарплаты с $w_1$ до $w_2$ влияет на продолжительность досуга и объём расходов Ивана на потребление. Укажите направление и величину изменений в продолжительности досуга, которые происходят за счёт эффектов замещения и богатства.

(Г) (13 баллов) Новый начальник Ивана считает, что повышение зарплаты до $1.5w_1$ лучше заменить надбавкой в $0.5w_1$ за каждый час сверхурочной работы, чтобы за каждый час, проработанный сверх

$$\frac{2}{3}T,$$

Иван получал

$$w_1+0.5w_1.$$

1. На новом графике проиллюстрируйте, как такая надбавка повлияет на продолжительность досуга и объём расходов Ивана на потребление.

2. В каком из двух случаев Иван будет работать больше: при повышении зарплаты, описанном в пункте (В.1), или при введении надбавки за сверхурочную работу? Как разница в эффективности этих двух способов мотивации связана с эффектами замещения и богатства?

У юного финансиста Майкла есть \100$. Он думает вложить их в инвестиционный проект, который с вероятностью$0.5$принесёт ему$$2$чистой прибыли на каждый вложенный доллар. Например, вложив$$20$, Майкл получит обратно свои$$20$ плюс

$$\$20\cdot 2=\$40$$

чистой прибыли.

С вероятностью $50\%$ проект принесёт чистый убыток в размере $L>0$ долларов на каждый вложенный доллар. Например, вложив \20$, Майкл получит обратно

$$20-20L$$

долларов.

Предпочтения Майкла описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности

$$v(x)=\sqrt{x},$$

где $x$ — его общее богатство.

(А) (6 баллов) Найдите все значения $L$, при которых Майкл откажется инвестировать в этот проект. Найдите все значения $L$, при которых он захочет вложить в этот проект все свои деньги.

(Б) (4 балла) У Майкла есть брат Джон, имеющий такое же богатство и собирающийся вложить деньги в абсолютно такой же, но независимый от уже описанного, инвестиционный проект. Единственное отличие Джона от Майкла — элементарная функция полезности. У Джона она имеет вид

$$v(x)=8\sqrt{x}-3000.$$

Верно ли, что для Джона ответы на вопросы пункта (А) будут такими же, как для Майкла? Объясните свой ответ.

(В) (10 баллов) Предположим, теперь Майкл размышляет о вложении всех своих денег (\100$) в стартап, который с равной вероятностью принесёт$$100$чистой прибыли или$$80$чистых убытков. Майкл может разделить чистую прибыль и чистые убытки с некоторым количеством соинвесторов. Если всего в стартап инвестируют$N$ участников, включая Майкла, Майклу достанется

$$\frac{100}{N}$$

долларов в случае успеха и

$$\frac{80}{N}$$

долларов убытка в случае провала.

Какое количество соинвесторов, не включая себя самого, выберет Майкл? Составьте и решите задачу на максимум ожидаемой полезности, считая $N$ непрерывной величиной. Иные варианты не оцениваются.

(Г) (15 баллов) Теперь Майкл размышляет о том, как ему распределить свои \100$ между двумя активами: золотом и индексом S&P 500. Доходности этих активов зависят от того, наступит ли в мировой экономике бум или спад.

В случае бума золото принесёт чистый убыток в $0.5$ доллара на каждый вложенный доллар, а S&P 500 — чистую прибыль в $2$ доллара на каждый вложенный доллар.

В случае спада золото принесёт чистую прибыль в $1$ доллар на каждый вложенный доллар, а S&P 500 — чистый убыток в $0.5$ доллара на каждый вложенный доллар.

Определите, как Майкл распределит свои деньги между этими активами. Проиллюстрируйте ваш ответ в пространстве контингентных благ.