Эконометрика — Исслед. поток ФЭН, 2020 final

Известно, что $A$ — постоянная симметричная матрица, $r$ — вектор и

$$f(r)=\frac{r^TAr}{r^Tr}.$$

(а) Найдите $df$.

(б) Перепишите условие

$$df=0$$

в виде

$$Ar=\operatorname{const}\cdot r.$$

Докажите, что в любом экстремуме функции $f$ вектор $r$ является собственным вектором матрицы $A$.

Рассмотрим модель

$$y=X\beta+u$$

с неслучайными регрессорами $X$, причём

$$E(u)=0, \qquad \operatorname{Var}(u)=\sigma^2I.$$

(а) Найдите

$$\operatorname{Var}(\widehat y), \qquad \operatorname{Var}(y-\widehat y), \qquad E(y-\widehat y).$$

Укажите размеры каждой найденной матрицы.

Имеется дополнительная тестовая выборка $y^{new},X^{new}$, для которой

$$y^{new}=X^{new}\beta+u^{new},$$ $$E(u^{new})=0, \qquad \operatorname{Var}(u^{new})=\sigma^2I.$$

В тестовой выборке $n^{new}$ наблюдений.

Ошибки двух выборок некоррелированы:

$$\operatorname{Cov}(u,u^{new})=0.$$

Для тестовой выборки используется старая оценка $\widehat\beta$, то есть

$$\widehat y^{new}=X^{new}\widehat\beta.$$

(б) Найдите

$$\operatorname{Var}(\widehat y^{new}), \qquad \operatorname{Var}(y^{new}-\widehat y^{new}), \qquad E(y^{new}-\widehat y^{new}).$$

Укажите размеры каждой найденной матрицы.

В выборке всего 5 наблюдений.

Исследователь Бонапарт оценивает парную регрессию

$$\widehat y_i=\widehat\beta_1+\widehat\beta_2x_i.$$

Однако истинная модель имеет вид

$$y_i=1+2z_i+u_i.$$

Известно, что

$$u\sim\mathcal N(0,\sigma^2I), \qquad x^T=(1,2,3,4,5).$$

(а) Найдите

$$E(\widehat\beta), \qquad \operatorname{Var}(\widehat\beta), \qquad E(RSS),$$

если

$$z^T=(2,3,4,5,6).$$

(б) Найдите

$$E(\widehat\beta), \qquad \operatorname{Var}(\widehat\beta), \qquad E(RSS),$$

если

$$z^T=(5,4,3,2,1).$$

Грета Тунберг, Илон Маск и Джеки Чан выбрали ортогональный базис в пятимерном пространстве:

$$v_1,v_2,v_3,v_4,v_5.$$

Вектор $v_1$ — вектор из единиц.

Грета Тунберг построила регрессию $y$ на

$$v_1,v_2,v_3.$$

Илон Маск построил регрессию того же вектора $y$ на

$$v_1,v_4,v_5.$$

Джеки Чан построил регрессию того же вектора $y$ на все элементы базиса.

(а) Изобразите в пятимерном пространстве остатки и прогнозы всех трёх регрессий.

(б) Как связаны между собой $RSS$, $ESS$ и $TSS$ всех трёх регрессий?

(в) Как связаны между собой оценки коэффициентов всех трёх регрессий?

Рассмотрим модель

$$y_i=\beta_1+\beta_2x_i+u_i$$

с неслучайным регрессором.

(а) Максимально аккуратно сформулируйте теорему Гаусса—Маркова с конструкциями «если» и «то».

Дайте формальное пояснение каждому использованному статистическому термину.

Дополнительно известно, что

$$\beta_2=0.$$

(б) Найдите

$$E(R^2).$$

(в) Найдите

$$E(R_{\mathrm{adj}}^2).$$