Микроэкономика 1 — Исслед. поток ФЭН, 2025 midterm

Исслед. поток ФЭНМикроэкономика 12025midterm

Тест

Тестовые задания

В каждом вопросе выберите один вариант ответа. За каждый правильный ответ начисляется 3 балла, если выбрано более одного варианта, то ответ считается неверным.

Тест 1

Рассмотрите декомпозицию по Слуцкому, проиллюстрированную на рис. 1. Какое из следующих утверждений НЕВЕРНО?

Рис. 1. Декомпозиция по Слуцкому

(а) Первое благо является инфериорным.
(б) $\Delta x_1^{SE} = x_1^A - x_1^B$ , где $\Delta x_1^{SE}$ — изменение объема потребления первого блага, вызванное эффектом замещения по Слуцкому.
(в) Действие эффектов дохода и замещения разнонаправлено.
(г) Предпочтения потребителя НЕ могут быть представимы функцией полезности $u(x) = (x_1 x_2)^2$ .
(д) $\Delta x_1^{IE} > 0$ , где $\Delta x_1^{IE}$ — изменение объема потребления первого блага, вызванное эффектом дохода.

Тест 2

Пусть предпочтения потребителя монотонны и представимы непрерывной функцией полезности на потребительском множестве $X = \mathbb{R}_+^2$ . На какой/каких панелях рис. 2 изображенные кривые могут быть линиями уровня функции расходов в пространстве цен, если стрелкой указано направление роста значения функции расходов?

Рис. 2. Четыре панели с возможными линиями уровня функции расходов в пространстве цен

(а) только (1) и (3)
(б) только (3)
(в) только (1)
(г) только (2) и (4)
(д) только (2)

В тестах 3–4 рассмотрите потребителя, имеющего монотонные строго выпуклые предпочтения, описываемые непрерывной функцией полезности $u(x)$ на потребительском множестве $X = \mathbb{R}_+^2$ . Считайте, что все рассматриваемые функции дифференцируемы; эффекты замещения и дохода в уравнении Слуцкого в дифференциальной форме отличны от нуля.

Тест 3

Пусть матрица Слуцкого при ценах $p = (2,4)$ и доходе $m = 36$ имеет вид:

S = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ \alpha & \beta \end{pmatrix}.

Каково значение $\beta$ ?

(а) $-1$
(б) $1$
(в) $2$
(г) $-2$
(д) $4$

Тест 4

Какое/какие утверждения верны?

Если блага 1 и 2 являются чистыми субститутами, то они являются валовыми субститутами.
Если блага 1 и 2 являются нормальными, то эффекты замещения и дохода в уравнении Слуцкого в дифференциальной форме по чужой цене однонаправлены.
Эффект замещения в уравнении Слуцкого в дифференциальной форме по чужой цене положителен.

(а) только (1) и (3)
(б) только (3)
(в) только (2)
(г) только (1) и (2)
(д) только (2) и (3)

Тест 5

Пусть предпочтения потребителя на потребительском множестве $X = \mathbb{R}_+^2$ описываются функцией полезности

u(x) = (x_1)^\alpha (x_2)^{1-\alpha}, \quad 0 < \alpha < 1.

Какое/какие утверждения верны?

Эластичность маршаллианского спроса на каждое благо по доходу равна 1.
Эластичность компенсированного спроса на первое благо по цене первого блага равна $(\alpha - 1)$ .
В уравнении Слуцкого в дифференциальной форме по чужой цене эффекты замещения и дохода равны по абсолютной величине.

(а) только (1) и (3)
(б) только (2)
(в) только (1) и (2)
(г) только (1)
(д) все верны

Задача 1

Пусть предпочтения потребителя на потребительском множестве $X = \mathbb{R}_+^2$ описываются функцией полезности

u(x_1, x_2) = \max\{x_1, x_2\} + \min\{x_1, x_2\}.

(а) (5 баллов) Изобразите типичные кривые безразличия для указанных предпочтений.

(б) (5 баллов) Являются ли предпочтения строго монотонными? Строго выпуклыми? Не забывайте об аргументации в этой задаче и в остальных!

(в) (5 баллов) Найдите выбор потребителя при цене каждой единицы первого блага, равной 5 д.е., цене каждой единицы второго блага, равной 10 д.е., и доходе 600 д.е. Приведите графическую иллюстрацию.

(г) (10 баллов) Предположим, правительство ввело систему талонов, т. е. для приобретения единицы какого-либо блага необходимо не только оплатить его денежную стоимость, но и отдать соответствующее количество бесконечно делимых талонов. За покупку каждой единицы каждого блага нужно отдать по 2 талона. Всего потребитель располагает 200 талонами. Изобразите множество наборов, доступных потребителю, и задайте его границу аналитически. Укажите на рисунке координаты всех наборов, важных для точного изображения множества.

(д) (5 баллов) Найдите выбор потребителя при системе продажи благ, описанной в пункте (г). Приведите графическую иллюстрацию.

Задача 2

15 баллов

Для исследования поведения потребителей аналитический отдел сети супермаркетов «Пять копеечек» раздал клиентам скидочные карточки в обмен на заполнение анкеты, где клиенты, в том числе, указали свой ежемесячный доход и свои предпочтения относительно покупаемых продуктов. Менеджер отдела Анатолий Семёнович обратил внимание на поведение клиента с номером скидочной карты № 12345. Клиент указал, что тратит на питание каждый месяц $m = 60$ д.е. и потребляет в соответствии со своей диетой только рукколу и лосося. При этом он всегда потребляет $100\alpha$ граммов рукколы ( $\alpha > 0$ ) со 100 граммами лосося, и чем больше таких комплектов он потребляет, тем ему лучше. Анатолий Семёнович решил проанализировать, как изменилось поведение клиента при изменении цены рукколы с уровня $p_1^0$ до $p_1^1 = 3$ за 100 граммов. Цена же лосося не менялась и составляет $p_2 = 6$ д.е. за 100 граммов. Анатолий Семёнович рассчитал, что компенсированный по Слуцкому доход составил $m^{comp} = 100$ д.е., а изменение потребления рукколы, вызванное действием эффекта дохода, составляет $\Delta x_1^{IE} = -800$ граммов. Чему равен параметр $\alpha$ ? Какой была первоначально цена рукколы? Проиллюстрируйте свои вычисления/рассуждения графически.

Задача 3

Пусть предпочтения потребителя на потребительском множестве $X = \mathbb{R}_+^N$ описываются непрерывной функцией полезности $u(x)$ . Считайте, что цены благ положительны (в UMP также положителен доход потребителя, а в EMP $u > u(0)$ ).

(а) (10 баллов) Покажите, что если предпочтения потребителя выпуклы, то множество решений EMP — выпуклое множество.

(б) (10 баллов) Покажите, что если предпочтения потребителя строго выпуклы, то решение UMP единственно.

Задача 4

На рисунке изображена типичная линия уровня косвенной функции полезности в пространстве цен, то есть

\{(p_1,p_2) \in \mathbb{R}_+^2 : v(p_1,p_2,\bar m) = \bar u\},

стрелкой указано направление роста значения функции. Предпочтения строго монотонны и представимы непрерывной функцией полезности.

Схематическая линия уровня косвенной функции полезности в пространстве цен

(а) (5 баллов) Изобразите в пространстве цен линию уровня функции расходов при $\bar u$ , соответствующую уровню расходов $\bar m$ .

(б) (5 баллов) Вычислите наклон линии уровня косвенной функции полезности в точке $(\hat p_1, \hat p_2)$ (предполагая дифференцируемость косвенной функции полезности).

(в) (10 баллов) Схематично (при необходимости предполагая дифференцируемость функции полезности и внутреннее решение задачи потребителя) изобразите кривую безразличия, соответствующую уровню полезности $\bar u$ , которая могла бы соответствовать изображенной на рисунке линии уровня косвенной функции полезности.