Микроэкономика 1 — Исслед. поток ФЭН, 2026 final

В каждом вопросе выберите один вариант ответа. За каждый правильный ответ начисляется 4 балла, если выбрано более одного варианта, то ответ считается неверным.

1. Предпочтения потребителя представимы функцией полезности $u(x_1,x_2)$, типичная кривая безразличия которой изображена на схематичном рис. 1. Пусть $p_1=2$. Какое/какие утверждения верны?

   1. Доход потребителя составляет 48 д.е.
   2. Значение полезности $u(6,24)$ равно $\bar u$.
   3. Если $u(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta}$, где $\alpha,\beta>0$, $\alpha+\beta>1$, то $MRS_{12}(16,32)=4$.

Варианты ответа:

• (а) только (1);
• (б) только (1) и (2);
• (в) только (1) и (3);
• (г) только (3);
• (д) все неверны.

2. Пусть предпочтения потребителя, располагающего положительным фиксированным доходом, представимы функцией полезности

   $$u(x_1,x_2)=\min\{0{,}5x_1,x_2\}.$$

   Известно, что цена единицы первого блага снизилась в два раза, а цена единицы второго блага оставалась неизменной, равной цене единицы первого блага после снижения. Эквивалентная вариация при указанных изменениях равна 20 д.е. Чему равен доход потребителя?

   Варианты ответа:

   • (а) 10;
   • (б) 15;
   • (в) 12;
   • (г) 30;
   • (д) 60.

3. На рис. 2 изображены кривые издержек максимизирующей прибыль фирмы в краткосрочном периоде. Через $p^*$ обозначена цена на продукцию фирмы. Какое/какие утверждения верны?

   1. Фирма производит $y^3$ единиц продукции.
   2. Буквой Б подписана кривая средних переменных издержек.
   3. Прибыль фирмы отрицательна.

Нужно проверить: "Из-за наложения кривых на левой стороне рисунка не вполне однозначно, к какому именно пересечению относится проекция y^1."

Варианты ответа:

• (а) только (3);
• (б) только (1) и (2);
• (в) только (2);
• (г) только (2) и (3);
• (д) все неверны.

4. Рассмотрите потребителя с положительным фиксированным доходом, имеющего монотонные строго выпуклые предпочтения, описываемые непрерывной функцией полезности $u(x)$ на потребительском множестве $X=\mathbb{R}_+^2$. Считайте, что все рассматриваемые функции дифференцируемы; эффекты замещения и дохода в уравнении Слуцкого в дифференциальной форме отличны от нуля. Какое/какие утверждения верны?

   1. Блага 1 и 2 являются чистыми субститутами.
   2. Если блага 1 и 2 являются нормальными, то эффекты замещения и дохода в уравнении Слуцкого в дифференциальной форме по чужой цене разнонаправленны.
   3. Если блага 1 и 2 не являются ни валовыми субститутами, ни валовыми комплементами, то они не могут быть чистыми субститутами.

   Варианты ответа:

   • (а) только (1) и (3);
   • (б) только (1);
   • (в) только (2);
   • (г) только (1) и (2);
   • (д) только (2) и (3).

5. Рассмотрите совершенно конкурентный рынок куриных яиц. Пусть обратные функции спроса и предложения линейны, причем обратная функция спроса является убывающей, а обратная функция предложения — возрастающей при положительном объеме. Регулирующий орган планирует введение максимальной цены на куриные яйца (ниже равновесной без вмешательства). Какое/какие утверждения верны?

   1. Потребители куриных яиц неизбежно выиграют.
   2. Производители куриных яиц неизбежно проиграют.
   3. Указанная мера приводит к такому же снижению общественного благосостояния по сравнению с ситуацией без вмешательства, что и установление минимальной цены на яйца.

   Варианты ответа:

   • (а) только (1);
   • (б) только (1) и (2);
   • (в) только (2) и (3);
   • (г) только (2);
   • (д) все верны.

Пусть предпочтения потребителя на потребительском множестве $X=\mathbb{R}_+^N$ описываются непрерывной функцией полезности $u(x)$. Считайте, что цены благ положительны (в UMP также положителен доход потребителя, а в EMP $u>u(0)$).

(а) (10 баллов) Покажите, что если предпочтения потребителя выпуклы, то множество решений UMP — выпуклое множество.

(б) (10 баллов) Покажите, что если предпочтения потребителя строго выпуклы, то решение EMP единственно.

Пусть технология фирмы описывается производственной функцией Кобба—Дугласа вида

$$f(x_1,x_2)=x_1^{1/4}x_2^{1/4}.$$

(а) (10 баллов) Известно, что при ценах факторов $w_1=10$, $w_2=2$ и фиксированном количестве второго фактора $\bar x_2=10$ в краткосрочном периоде издержки составили 36 д.е. При каком выпуске минимизировались издержки? Запишите функции предельных краткосрочных издержек, средних краткосрочных издержек и средних переменных издержек и изобразите графики этих функций (как функций выпуска) на одном рисунке.

(б) (5 баллов) При указанных в п. (а) ценах факторов и фиксированном количестве второго фактора найдите функцию предложения фирмы в краткосрочном периоде. Изобразите на рисунке из п. (а) график обратной функции предложения.

Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями (A и B) и двумя благами (1 и 2). Первоначальные запасы благ у потребителей:

$$\omega^A=\left(\frac{\omega}{5},\frac{4\omega}{5}\right), \qquad \omega^B=\left(\frac{4\omega}{5},\frac{\omega}{5}\right),$$

где $\omega>0$. Предпочтения потребителя A представимы функцией полезности вида

$$u^A(x_1^A,x_2^A)=2v(x_1^A)+v(x_2^A),$$

где $v'(x)>0$, $v''(x)<0$ для любого $x>0$, а предпочтения потребителя B представимы функцией полезности вида

$$u^B(x_1^B,x_2^B)=2x_1^B+x_2^B.$$

Найдите внутреннее равновесие по Вальрасу.

Рассмотрите модель частичного равновесия в квазилинейной экономике с двумя благами (1 и 2), одним потребителем (A) и двумя фирмами (1 и 2). Функция спроса потребителя A на второе благо имеет вид

$$x_2^A(p)=\frac{49}{4p^2}.$$

Фирмы производят второе благо из первого в соответствии с функциями издержек вида

$$c_j(y_2^j)=0{,}25(y_2^j)^2, \qquad j=1,2,$$

где $y_2^j$ — это объем производства второго блага фирмой $j$, $j=1,2$. Потребитель обладает первоначальным запасом первого блага, равным 200 единицам, но не имеет запаса второго блага. Будем считать, что цена единицы первого блага равна 1, потребитель и фирма принимают цены заданными.

(а) (20 баллов) Предположим, в экономике введен адвалорный налог по ставке $\tau>0$ на потребление второго блага такой, что равновесная цена единицы второго блага (цена для производителей) составляет 1 д.е. Найдите ставку налога, равновесный объем производства и потребления второго блага и равновесную цену для потребителя. Приведите графическую иллюстрацию введения налога в пространстве (объем блага, цена). Укажите на рисунке площади, соответствующие величине налоговых сборов, излишку потребителя при введенном налоге и чистым потерям.

(б) (14 баллов) Пусть отрасль состоит из большого количества фирм, имеющих одинаковые технологии с долгосрочными функциями издержек:

$$c_j(y_2^j)=0{,}25(y_2^j)^2+T, \quad \text{если } y_2^j>0, \qquad j=1,\ldots,N,$$

и $c(0)=0$, где $T=1$ — это затраты фирмы на вход в отрасль (например, на покупку лицензии). Найдите количество фирм и рыночную цену в долгосрочном равновесии, предполагая, что фирм не фиксированное число, а что они могут входить на рынок. (Не предполагается введение налога из п. (а).)