Математический анализ 2 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2021 demo midterm

Найдите проекцию $P$ точки

$$A(1,-1,-4)$$

на плоскость

$$\pi:\ 2x-3y+3z+2=0.$$

Найдите вектор-функцию, представляющую кривую пересечения цилиндра

$$\frac{(x-4)^2}{25}+\frac{(y-8)^2}{81}=1$$

и плоскости

$$4x+4y+z-114=0.$$

Проходит ли эта кривая через точку

$$A(9,8,46)?$$

Если да, то:

(а) Найдите соответствующее значение $t_0$ параметра $t$ вектор-функции.

(б) Найдите касательный вектор $\vec m$ к кривой в точке $A$.

(в) Найдите общее уравнение плоскости, ортогональной вектору $\vec m$ и проходящей через точку $A$.

Пусть

$$f(x,y)= \begin{cases} xy\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[8pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}$$

Докажите, что

$$f_x'(0,y)=-y,$$ $$f_y'(x,0)=x,$$ $$f_{xx}''(0,0)=-1,$$ $$f_{yy}''(0,0)=1.$$

Найдите

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z},$$

если

$$u= \frac{1}{12}x^4 -\frac{1}{6}x^3(y+z) +\frac{1}{2}x^2yz + f(y-x,z-x),$$

где $f$ — дифференцируемая функция.

Найдите точки локального экстремума функции

$$f(x,y) = \frac{1}{xy} - \frac{4}{x^2y} - \frac{8}{xy^2}.$$

Найдите длину дуги кривой

$$x=3\cos^4 t, \qquad y=3\sin^4 t.$$