Теория вероятностей и математическая статистика — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2026 final

Генеральная совокупность $X$ имеет плотность распределения

$$f(x;\theta)= \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}, & \theta=0,\\[8pt] \dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{1+x^2}, & \theta=1. \end{cases}$$

Параметр $\theta$ принимает только два значения:

$$\Theta=\{0,1\}.$$

Дана выборка

$$X_1,\ldots,X_n.$$

Найдите оценку максимального правдоподобия

$$\widehat\theta_{\mathrm{ML}}$$

параметра $\theta$.

В двух округах большого города был проведён опрос по поводу использования электросамокатов.

Из 200 опрошенных в первом округе 100 человек высказались за предлагаемый городскими властями пакет ограничений. Во втором округе из 100 опрошенных за ограничения высказались 40 человек.

(а) (15 баллов) Постройте приближённый 95%-ный доверительный интервал для разности пропорций

$$p_1-p_2$$

жителей первого и второго округов, выступающих за ограничения.

(б) (5 баллов) Протестируйте на 5%-ном уровне нулевую гипотезу

$$H_0:p_1=p_2$$

против двусторонней альтернативы

$$H_a:p_1\ne p_2.$$

На рейсах «Аэрофлота» пассажирам во время обеда на выбор предлагают мясное или рыбное блюдо.

Многолетние наблюдения показывают, что 70% пассажиров предпочитают мясное блюдо, а остальные 30% — рыбное. Самолёт вмещает 250 пассажиров.

Оцените, какое минимальное количество мясных и рыбных блюд нужно взять на борт, чтобы с вероятностью не менее 0.95 все пассажиры получили блюдо по вкусу.

Замечания:

1. Ответ вида «достаточно взять по 250 мясных и рыбных блюд» не считается правильным. Нужно обеспечить разумную минимальность количества блюд.
2. Строго доказывать минимальность полученных величин не требуется. Достаточно привести разумные рассуждения.

Часть 2 — 70 минут

Генеральная совокупность имеет нормальное распределение

$$X\sim N(m,\sigma^2),$$

причём среднее $m$ известно.

Сравните эффективность двух оценок дисперсии $\sigma^2$:

$$S_1=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2$$

и

$$S_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-m)^2.$$

Случайные величины $X_1$ и $X_2$ независимы и имеют показательные распределения со средними

$$m_1=2,\qquad m_2=3.$$

Найдите вероятность

$$P(X_2<X_1).$$