Математический анализ 1 — Исслед. поток ФЭН, 2026 demo final

Код исходного варианта: MA211.1.

Задача 1

Вычислите предел

$$\lim_{x\to\pi/4}(\tan x)^{\tan 2x}.$$

Задача 2

Вычислите предел

$$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{\cos 4x}-\sqrt[3]{\cos 5x}} {1-\cos 3x}.$$

Задача 3

Найдите все асимптоты графика функции

$$f(x)=x\operatorname{arcctg}\left(\frac1x\right).$$

Задача 4

Найдите все значения, которые функция

$$x^{1/x},\qquad x>0,$$

принимает дважды.

В каких точках это значение равно $\sqrt2$?

Задача 5

Найдите производную в точке $(0,0)$ функции

$$f(x,y)=\sqrt[3]{x^3+y^3}$$

по направлению вектора $h=(1,1)$.

Задача 6

В каких точках касательная плоскость к поверхности

$$xy+z^2+xz=5$$

параллельна плоскости

$$x-y+2z=0?$$

Задача 7

Существует ли дифференцируемое отображение, обратное для отображения

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$

где

$$u=\ln\left(\frac{x-z}{y}\right),\qquad v=2\arctan\left(\frac{z-y}{x}\right),\qquad w=xy,$$

в окрестности точки $(2,1,1)$?

Задача 8

Является ли функция $z(x,y)$, заданная неявно уравнением

$$2x^2+2y^2+z^2+4xz-z-8=0$$

и условием

$$z(0,2)=1,$$

выпуклой в окрестности точки $M_0=(0,2)$?

Задача 9

Найдите все экстремумы функции

$$z=e^{-x-2y}\left(x^2-4xy-2y^2\right).$$

Задача 10

Найдите все экстремальные значения дифференцируемых функций $z(x,y)$, заданных неявно уравнением

$$z^3+2x^2+2xy-xz+y^2+x+2y+1=0.$$

Код исходного варианта: MA211.4.

Задача 1

Вычислите предел

$$\lim_{x\to1} \frac{1-x+\ln x}{(x^2-1)^2}.$$

Задача 2

Вычислите предел

$$\lim_{x\to\infty}x^2\ln\left(\cos\frac{2}{x}\right).$$

Задача 3

Найдите все асимптоты графика функции

$$f(x)=x^2\ln\left(\frac{x+1}{x}\right).$$

Задача 4

Уравнение

$$3x^4-4x^3+a=0$$

имеет единственное решение $x_0$.

Найдите $x_0$ и $a$.

Задача 5

Найдите производную функции

$$f(x,y,z)=xy-\frac{z}{y}$$

в точке $M=(2,1,2)$ по направлению градиента функции

$$V=xyz$$

в этой точке.

Задача 6

Найдите все точки поверхности

$$x^2+y^2-xy-z^2-27=0,$$

касательная плоскость в которых перпендикулярна прямой

$$x=-2y=-2z.$$

Задача 7

Существует ли дифференцируемое отображение, обратное для отображения

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$

где

$$u=\ln\left(x+\frac1y\right),\qquad v=4\arctan\left(\frac{z}{x}\right),\qquad w=xy,$$

в окрестности точки $(2,-1,2)$?

Задача 8

Является ли функция $z(x,y)$, заданная неявно уравнением

$$x^2+y^2-z^2-yz-zx-2=0$$

и условием

$$z(1,1)=-2,$$

выпуклой в окрестности точки $M_0=(1,1)$?

Задача 9

Найдите все экстремумы функции

$$f(x,y)=e^{x+2y}\left(2x^2+4xy+y^2\right).$$

Задача 10

Найдите все экстремальные значения дифференцируемых решений $z(x,y)$ уравнения

$$z^3+2x^2-2xy-2xz+y^2+2x+2y+1=0.$$

Код исходного варианта: MA211.5.

Задача 1

Вычислите предел

$$\lim_{x\to+\infty} \frac{\left(1+\frac1x\right)^{x^2}}{e^x}.$$

Задача 2

Вычислите предел

$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+4x+x^2)+\ln(1-4x+x^2)}{x^2}.$$

Задача 3

Найдите все асимптоты графика функции

$$f(x)=x^{3/2}\arcsin\left(\frac1{\sqrt{x}}\right).$$

Задача 4

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение

$$(x-a)^2(x+5a)=a^8$$

имеет два различных решения.

Укажите эти решения.

Задача 5

Найдите все точки, в которых градиент функции

$$z=3\ln(x-y^{-3})$$

равен

$$\mathbf i+3\mathbf j.$$

Задача 6

Найдите уравнение касательной плоскости к поверхности

$$z=xy,$$

перпендикулярной прямой

$$x=y=-2z.$$

Задача 7

Существует ли дифференцируемое отображение, обратное для отображения

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$

где

$$u=\ln\left(x+\frac1y\right),\qquad v=\frac{z}{x},\qquad w=\frac{y}{z},$$

в окрестности точки $(1,1,2)$?

Задача 8

Является ли функция $z(x,y)$, заданная неявно уравнением

$$x^2-2y^2+z^2+yz-zx+17=0$$

и условием

$$z(1,3)=-2,$$

выпуклой в окрестности точки $M_0=(1,3)$?

Задача 9

Найдите все экстремумы функции

$$z=e^{-4x+2y}\left(x^2-4xy+2y^2\right).$$

Задача 10

Найдите все экстремальные значения дифференцируемых функций $z(x,y)$, заданных неявно уравнением

$$z^3+x^2+2xy-2xz+2y^2+3=0.$$

Код исходного варианта: MA211.26.

Задача 1

Вычислите предел

$$\lim_{x\to1} \frac{x^x-x}{1-x+\ln x}.$$

Задача 2

Вычислите предел

$$\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{\cos 4x}-\sqrt[3]{\cos 5x}} {1-\cos 3x}.$$

Задача 3

Найдите все асимптоты графика функции

$$f(x)=\sqrt{x^2-2x+3}-x.$$

Задача 4

Уравнение

$$3x^4-4x^3+a=0$$

имеет единственное решение $x_0$.

Найдите $x_0$ и $a$.

Задача 5

Пусть матрица

$$\begin{pmatrix} 1 & 4\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

является производной некоторой функции

$$f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$$

в точке $(5,6)$.

Найдите производную этой функции в данной точке по направлению вектора

$$P=(-1,1).$$

Задача 6

Найдите все точки поверхности

$$x^2+y^2-xy-z^2-27=0,$$

касательная плоскость в которых перпендикулярна прямой

$$x=-2y=-2z.$$

Задача 7

Существует ли дифференцируемое отображение, обратное для отображения

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$

где

$$u=\ln\left(x+\frac1y\right),\qquad v=4\arctan\left(\frac{z}{x}\right),\qquad w=xy,$$

в окрестности точки $(2,-1,2)$?

Задача 8

Является ли функция $z(x,y)$, заданная неявно уравнением

$$x^2+y^2-z^2-yz-zx-2=0$$

и условием

$$z(1,1)=-2,$$

выпуклой в окрестности точки $M_0=(1,1)$?

Задача 9

Найдите все экстремумы функции

$$z=e^{x+y}\left(x^2-2xy-2y^2\right).$$

Задача 10

Найдите все экстремальные значения дифференцируемых решений $z(x,y)$ уравнения

$$z^3+2x^2-2xy-2xz+y^2+2x+2y+1=0.$$