Математический анализ 1 — Исслед. поток ФЭН, 2026 demo midterm

Код исходного варианта: MA КР-2 211.8.

Задача 1

Найдите и изобразите на координатной плоскости область определения функции

$$z=\ln\bigl(x\ln(y-x)\bigr).$$

Является ли она открытым множеством?

Задача 2

Вычислите и изобразите на координатной плоскости вектор-градиент функции

$$f(x,y)=\frac{x^2+y^2+2x+3y}{x^2+y^2+6x+5y}$$

в точке $(1,-2)$.

Нарисуйте линию уровня этой функции, проходящую через данную точку.

Задача 3

Исследуйте непрерывность и дифференцируемость в точке $(0,0)$ функции

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^5+y^5}{x^4+x^2y^2+y^4}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}$$

Задача 4

Изобразите кривую, заданную в полярной системе координат уравнением

$$\rho=\cos\varphi+\sin\varphi.$$

Задача 5

Напишите уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности

$$z=3\ln\left(\frac{z}{4x-y}\right)+x^2yz$$

в точке $(1,1,3)$.

Задача 6

Найдите $d^2f(1;1)$ для функции

$$f(x,y)=(2x-y)\ln\left(\frac{y}{x}\right).$$

Задача 7

Найдите якобиан отображения

$$\varphi:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$

где

$$u=\ln(x-2y-z),\qquad v=\arctan(y+z),\qquad w=xyz,$$

в точке $(2,1,-1)$.

Задача 8

Найдите якобиан отображения $\varphi=g\circ f$ в точке $M_0$, если

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v),\qquad u=xyz,\qquad v=x^2+y^2-z^2,$$ $$g:(u,v)\mapsto(p,q,r),\qquad p=uv,\qquad q=\frac{u}{v},\qquad r=\frac{u}{u^2+v^2},$$ $$M_0=(-1,1,1).$$

Задача 9

Найдите в точке

$$A(x,y,u,v)=A(-1,1,2,2)$$

все частные производные первого порядка функций

$$u=f_1(x,y),\qquad v=f_2(x,y),$$

заданных неявно системой

$$\begin{cases} x^3u+yv=0,\\ uv-xy=5. \end{cases}$$

Задача 10

Запишите формулу Тейлора для функции

$$f(x,y)=e^{x-y}$$

в окрестности точки $(1,1)$ в двух вариантах:

1. с многочленом Тейлора второго порядка и остаточным членом в форме Пеано;
2. с многочленом Тейлора первого порядка и остаточным членом в форме Лагранжа.

Код исходного варианта: MA КР-2 211.20.

Задача 1

Найдите и изобразите на координатной плоскости область определения функции

$$z=\sqrt{\frac{2x-x^2-y^2}{y-x^2}}.$$

Является ли она открытым множеством?

Задача 2

Вычислите и изобразите на координатной плоскости вектор-градиент функции

$$f(x,y)=\frac{x+2y+4}{x^2-y^2-5x-2y}$$

в точке $(4,-2)$.

Нарисуйте линию уровня этой функции, проходящую через данную точку.

Задача 3

Исследуйте непрерывность и дифференцируемость в точке $(0,0)$ функции

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}$$

Задача 4

Изобразите кривую, заданную в полярной системе координат уравнением

$$\rho=\cos\varphi+\sin\varphi.$$

Задача 5

Напишите уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности

$$z=3\ln\left(\frac{z}{4x-y}\right)+x^2yz$$

в точке $(1,1,3)$.

Задача 6

Найдите $d^2f(1;2)$ для функции

$$f(x,y)=\frac{\ln(y-x)}{x^2-y}.$$

Задача 7

Найдите якобиан отображения

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$

где

$$u=x^2\arctan(y+z),\qquad v=\ln(x+y-z),\qquad w=xyz,$$

в точке $(2,1,-1)$.

Задача 8

Запишите матрицу производной отображения $\varphi=g\circ f$ в точке $M_0$, если

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$ $$u=xy+z^2,\qquad v=yz+x^2,\qquad w=\frac{x}{y+z},$$ $$g:(u,v,w)\mapsto(p,q),\qquad p=\frac{u}{v},\qquad q=w+u,$$ $$M_0=(1,2,-1).$$

Задача 9

Найдите в точке $(1,1)$ частные производные первого и второго порядков неявной функции $z(x,y)$, заданной уравнением

$$x^2z^3-y^2z+2xy-2=0$$

и условием

$$z(1,1)=-1.$$

Задача 10

Запишите формулу Тейлора для функции

$$f(x,y)=e^{x-y}$$

в окрестности точки $(1,1)$ в двух вариантах:

1. с многочленом Тейлора второго порядка и остаточным членом в форме Пеано;
2. с многочленом Тейлора первого порядка и остаточным членом в форме Лагранжа.

Код исходного варианта: MA КР-2 211.21.

Задача 1

Найдите и изобразите на координатной плоскости область определения функции

$$z=\ln\left(\frac{y-\sqrt{x}}{y-x}\right).$$

Является ли она открытым множеством?

Задача 2

Вычислите и изобразите на координатной плоскости вектор-градиент функции

$$f(x,y)=\frac{x+2y+4}{x^2-y^2-5x-2y}$$

в точке $(4,-2)$.

Нарисуйте линию уровня этой функции, проходящую через данную точку.

Задача 3

Исследуйте непрерывность и дифференцируемость в точке $(0,0)$ функции

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3y^2}{\sqrt{x^6+y^6}}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}$$

Задача 4

Изобразите кривую, заданную в полярной системе координат уравнением

$$\rho=\sin\varphi-\cos\varphi.$$

Задача 5

Напишите уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности

$$2\ln\left(\frac{z+y}{x}\right)=\frac{xz}{y^2}-6$$

в точке $(2,-1,3)$.

Задача 6

Найдите $d^2f(1;2)$ для функции

$$f(x,y)=\frac{\ln(y-x)}{x^2-y}.$$

Задача 7

Найдите якобиан отображения

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$

где

$$u=\ln\left(\frac{x}{y}\right),\qquad v=\arctan\left(\frac{z}{x}\right),\qquad w=yz,$$

в точке $(1,2,-1)$.

Задача 8

Запишите матрицу производной отображения $\varphi=g\circ f$ в точке $M_0$, если

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$ $$u=xy+z^2,\qquad v=yz+x^2,\qquad w=\frac{x}{y+z},$$ $$g:(u,v,w)\mapsto(p,q),\qquad p=\frac{u}{v},\qquad q=w+u,$$ $$M_0=(1,2,-1).$$

Задача 9

Найдите в точке $(1,1)$ частные производные первого и второго порядков неявной функции $z(x,y)$, заданной уравнением

$$x^2z^3-y^2z+2xy-2=0$$

и условием

$$z(1,1)=-1.$$

Задача 10

Запишите формулу Тейлора для функции

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+2y}$$

в окрестности точки $(3,-4)$ в двух вариантах:

1. с многочленом Тейлора второго порядка и остаточным членом в форме Пеано;
2. с многочленом Тейлора первого порядка и остаточным членом в форме Лагранжа.

Код исходного варианта: MA КР-2 211.26.

Задача 1

Найдите и изобразите на координатной плоскости область определения функции

$$z=\ln\left(\frac{x^2+y^2-x}{2x-x^2-y^2}\right).$$

Является ли она открытым множеством?

Задача 2

Вычислите и изобразите на координатной плоскости вектор-градиент функции

$$f(x,y)=\frac{x+2y+4}{x^2-y^2-5x-2y}$$

в точке $(4,-2)$.

Нарисуйте линию уровня этой функции, проходящую через данную точку.

Задача 3

Исследуйте непрерывность и дифференцируемость в точке $(0,0)$ функции

$$f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}$$

Задача 4

Изобразите кривую, заданную в полярной системе координат уравнением

$$\rho=1+2\sin\varphi.$$

Задача 5

Напишите уравнения касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности

$$2\ln\left(\frac{z+y}{x}\right)=\frac{xz}{y^2}-6$$

в точке $(2,-1,3)$.

Задача 6

Найдите $d^2f(1;2)$ для функции

$$f(x,y)=x^2\ln(y-x).$$

Задача 7

Найдите якобиан отображения

$$f:(x,y,z)\mapsto(u,v,w),$$

где

$$u=\ln\left(\frac{x}{y}\right),\qquad v=\arctan\left(\frac{z}{x}\right),\qquad w=yz,$$

в точке $(1,2,-1)$.

Задача 8

Запишите матрицу производной отображения $\varphi=g\circ f$ в точке $M_0$, если

$$f:x\mapsto(u,v),\qquad u=x^3,\qquad v=\ln\left(\frac{1}{x}\right),$$ $$g:(u,v)\mapsto(p,q,r),\qquad p=u^2+v^2,\qquad q=\ln(u+v),\qquad r=v^3,$$ $$M_0=1.$$

Задача 9

Найдите в точке $(-2,1)$ частные производные первого и второго порядков неявной функции $z(x,y)$, заданной уравнением

$$z^3+xz+y^2=0$$

и условием

$$z(-2,1)=1.$$

Задача 10

Запишите формулу Тейлора для функции

$$f(x,y)=\sqrt{x^2+2y}$$

в окрестности точки $(3,-4)$ в двух вариантах:

1. с многочленом Тейлора второго порядка и остаточным членом в форме Пеано;
2. с многочленом Тейлора первого порядка и остаточным членом в форме Лагранжа.