Линейная алгебра — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2025 demo final

Список теоретических вопросов приведён после задач.

Функции от матриц. Сформулируйте и докажите теорему Гамильтона–Кэли.

Пусть

$$B=\{\bar e_1,\bar e_2\}$$

— ортонормированный базис $\mathbb R^2$, а линейный оператор $f$ в базисе

$$B'=\{\bar e_1+\bar e_2,\ \bar e_1+2\bar e_2\}$$

имеет матрицу

$$A'= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}.$$

Найдите матрицу сопряжённого оператора $f^*$ в базисе $B'$.

Найдите жорданову форму линейного оператора $f$, заданного в некотором базисе матрицей

$$A= \begin{pmatrix} 1 & -3 & 3\\ -2 & -6 & 13\\ -1 & -4 & 8 \end{pmatrix},$$

и базис, в котором матрица оператора $f$ имеет найденную жорданову форму.

Для квадратичной формы

$$f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$$

найдите её канонический вид, а также ортогональное преобразование $P$, приводящее её к каноническому виду.

Пусть $A$ — положительно определённая матрица, а $k\in\mathbb R$ — действительное число.

Докажите, что матрица $kA$ является положительно определённой тогда и только тогда, когда

$$k>0.$$

Найдите решение системы дифференциальных уравнений

$$\begin{cases} x'=x-y+z,\\ y'=x+y-z,\\ z'=2x-y, \end{cases}$$

если

$$x(0)=3,\qquad y(0)=-2,\qquad z(0)=-3.$$

Определите тип квадрики, напишите её каноническое уравнение и найдите каноническую систему координат, если в исходной системе координат она задана уравнением

$$8x^2+6xy-26x-12y+11=0.$$

Список теоретических вопросов к итоговой контрольной работе

1. Симметрические линейные операторы. Докажите, что характеристическое уравнение симметрического линейного оператора имеет только действительные корни.

2. Симметрические линейные операторы. Докажите, что у любого симметрического оператора $f$ в евклидовом пространстве $V$ существует ортогональный (ортонормированный) базис из собственных векторов этого оператора.

3. Корневое подпространство $V(\lambda)$ линейного оператора $f$ векторного пространства $V$. Докажите, что $V(\lambda)$ — инвариантное относительно $f$ линейное подпространство $V$, причём

$$V(\lambda)\neq \{\bar 0\}$$

тогда и только тогда, когда

$$\lambda\in\sigma(f).$$

4. Матрица квадратичной формы. Формула преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса, с доказательством.

5. Канонический вид квадратичной формы. Сформулируйте и докажите закон инерции квадратичной формы.

6. Положительно и отрицательно определённые квадратичные формы. Сформулируйте и докажите критерий Сильвестра положительной определённости квадратичной формы.

7. Докажите, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определённой, можно одновременно привести к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием.

8. Сопряжённое пространство векторного пространства $V$. Аннулятор $W^0$ векторного подпространства $W\subset V$. Теорема о соотношении их размерностей, с доказательством.

9. Функции от матриц. Сформулируйте и докажите теорему Гамильтона–Кэли.

10. Эллипс. Выведите каноническое уравнение эллипса.

11. Гипербола. Выведите каноническое уравнение гиперболы.

12. Парабола. Выведите каноническое уравнение параболы.