Линейная алгебра — Совбак ВШЭ и РЭШ, demo final

Задача 1

Рассмотрим пространство $\mathbb R_2[t]$ многочленов переменной $t$ степени не выше двух с вещественными коэффициентами и отображение

$$T:\mathbb R_2[t]\to\mathbb R_2[t],$$

заданное формулой

$$T(p(t))=t(t+1)p''(t)+(t-1)p'(t)-p(t).$$

(a) Докажите, что $T$ — линейное отображение.

(b) Найдите базисы и размерности пространств

$$\ker T \qquad\text{и}\qquad \operatorname{Im}T.$$

(c) Является ли отображение $T$ сюръективным? Ответ обоснуйте.

Задача 2

В пространстве $M_{2\times2}(\mathbb R)$ рассмотрим канонический базис

$$\mathcal B= \left( \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \right)$$

и линейное отображение

$$T(A)=AM, \qquad M= \begin{pmatrix} -1&3\\ 1&2 \end{pmatrix}.$$

(a) Найдите матрицу $[T]_{\mathcal B}$.

(b) Рассмотрим базис

$$\mathcal B'= \left( \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \right).$$

Найдите матрицу перехода

$$P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B'}.$$

(c) Найдите матрицу $[T]_{\mathcal B'}$.

(d) Каково соотношение между матрицами

$$[T]_{\mathcal B} \qquad\text{и}\qquad [T]_{\mathcal B'}?$$

Задача 3

Пусть подпространство $\mathbb R^3$ задано как

$$W= \left\{ \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \;\middle|\; a+b=c \right\}.$$

(a) Вычислите

$$\operatorname{proj}_W \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}.$$

(b) Найдите ортонормированный базис $(v_1,v_2,v_3)$ пространства $\mathbb R^3$ такой, что $(v_1,v_2)$ является базисом пространства $W$.

Задача 4

Дана матрица

$$A= \begin{pmatrix} 4&0&0&0\\ 0&2&0&2\\ 0&0&4&0\\ 0&2&0&2 \end{pmatrix}.$$

(a) Докажите, что $4$ — собственное значение матрицы $A$.

(b) Определите все собственные значения матрицы $A$ и соответствующие собственные пространства.

(c) Найдите ортогональную матрицу $O$ и диагональную матрицу $D$ такие, что

$$O^TAO=D.$$

Задача 5

Задаёт ли билинейная форма

$$\langle u,v\rangle = u^T \begin{pmatrix} 1&-2\\ -2&4 \end{pmatrix} v$$

скалярное произведение в $\mathbb R^2$?

Ответ обоснуйте.

Задача 1 — 8 баллов

Докажите, что множество

$$V= \left\{ p\in\mathbb R_2[x] \;\middle|\; p(1)=p'(-1)=0 \right\}$$

является векторным пространством.

Задача 2

Пусть

$$T:\mathbb R_2[x]\to\mathbb R_2[x]$$

— отображение, определённое формулой

$$T(p(x))=p(x)+(x-1)p'(x).$$

(a) (2 балла) Докажите линейность отображения $T$.

(b) (3 балла) Найдите каноническую матрицу

$$[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal C}$$

этого отображения в базисе

$$\mathcal C=(1,x,x^2)$$

пространства $\mathbb R_2[x]$.

(c) (2 балла) Докажите, что

$$\mathcal B=\left(1,1-x,(1-x)^2\right)$$

является базисом.

(d) (3 балла) Найдите

$$[T]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B}.$$

(e) (5 баллов) Найдите матрицы перехода

$$P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} \qquad\text{и}\qquad P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}.$$

(f) (8 баллов) Приведите формулу связи между матрицами

$$[T]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B} \qquad\text{и}\qquad [T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal C}$$

и проверьте с её помощью вычисления в пунктах (b) и (c).

(g) (2 балла) Выясните, является ли $T$ изоморфизмом. Ответ обоснуйте.

Задача 3

(a) (5 баллов) Пусть

$$T:V\to\mathbb R^n$$

— изоморфизм векторных пространств $V$ и $\mathbb R^n$.

Докажите, что скобка

$$\langle u,v\rangle_T=T(u)\cdot T(v)$$

задаёт скалярное произведение на $V$.

Здесь $\cdot$ — стандартное скалярное произведение в $\mathbb R^n$.

(b) (5 баллов) Пусть

$$V=\mathbb R_2[t]$$

и отображение

$$T:V\to\mathbb R^3$$

действует по правилу

$$at^2+bt+c \longmapsto \begin{pmatrix} a+b\\ b+c\\ c+a \end{pmatrix}.$$

Докажите, что $T$ — изоморфизм.

(c) (15 баллов) Рассмотрим пространство

$$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle_T),$$

где $V$ и $T$ заданы в пункте (b), а $\langle\cdot,\cdot\rangle_T$ определено как в пункте (a).

Пусть

$$W=\operatorname{span}\{1,t\}.$$

Найдите

$$\operatorname{proj}_W t^2$$

относительно скалярного произведения $\langle\cdot,\cdot\rangle_T$.

Задача 4

(a) (10 баллов) Диагонализуйте матрицу

$$A= \begin{pmatrix} 3&-2&8\\ 0&5&-2\\ 0&-4&3 \end{pmatrix}.$$

Укажите также обратимую матрицу $P$ и диагональную матрицу $D$ такие, что

$$A=PDP^{-1}.$$

(b) (10 баллов) Найдите $A^3$.

Задача 5

(a) (12 баллов) Найдите максимум и минимум квадратичной формы

$$Q(x)=3x_1^2-3x_3^2-12x_1x_2+12x_2x_3$$

при ограничении

$$x^Tx=2.$$

Ответ обоснуйте.

(b) (10 баллов) Найдите все значения параметра $\alpha$, при которых квадратичная форма

$$Q(x)=\alpha x_1^2-2x_2^2-x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3$$

отрицательно определена.

Ответ обоснуйте.

Задача 1 — 10 баллов

Рассмотрим векторное пространство вещественных матриц $2\times2$,

$$M_{2\times2}.$$

Какие из следующих подмножеств $M_{2\times2}$ являются векторными пространствами?

(a)

$$V_1= \left\{ A\in M_{2\times2} \;\middle|\; \operatorname{tr}(A)=0 \right\}.$$

(b)

$$V_2= \left\{ A\in M_{2\times2} \;\middle|\; \det(A)=0 \right\}.$$

(c)

$$V= \left\{ A\in M_{2\times2} \;\middle|\; \operatorname{tr}(A)=1 \right\}.$$

Ответ обоснуйте.

Задача 2

Пусть

$$T:M_{2\times2}\to M_{2\times2}$$

— отображение, определённое формулой

$$T(A)=AB,$$

где

$$B= \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}.$$

(a) (2 балла) Докажите линейность отображения $T$.

(b) (3 балла) Найдите каноническую матрицу

$$[T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal C}$$

этого отображения в базисе

$$\mathcal C= \left( \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \right)$$

пространства $M_{2\times2}$.

(c) (3 балла) Найдите

$$[T]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B},$$

где

$$\mathcal B= \left( \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \right).$$

(d) (5 баллов) Найдите матрицы перехода

$$P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} \qquad\text{и}\qquad P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}.$$

(e) (8 баллов) Приведите формулу связи между матрицами

$$[T]_{\mathcal B\leftarrow\mathcal B} \qquad\text{и}\qquad [T]_{\mathcal C\leftarrow\mathcal C}$$

и проверьте с её помощью вычисления в пунктах (b) и (c).

(f) (2 балла) Выясните, является ли $T$ изоморфизмом. Ответ обоснуйте.

Задача 3

(a) (5 баллов) Пусть

$$T:V\to W$$

— изоморфизм векторных пространств $V$ и $W$.

Пусть на $W$ задано скалярное произведение $\langle\cdot,\cdot\rangle_W$.

Докажите, что скобка

$$\langle u,v\rangle_T = \langle T(u),T(v)\rangle_W$$

задаёт скалярное произведение на $V$.

(b) (7 баллов) Пусть

$$V=M_{2\times2}(\mathbb R), \qquad W=\mathbb R_3[t],$$

и отображение

$$T:V\to W$$

действует по правилу

$$\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} \longmapsto (a+b)t^3+(b+c)t^2+ct+d.$$

Докажите, что $T$ — изоморфизм.

(c) (20 баллов) На пространстве

$$W=\mathbb R_3[t]$$

зададим скалярное произведение

$$\langle p,q\rangle_W = \int_0^1 p(t)q(t)\,dt,$$

где

$$p,q\in\mathbb R_3[t].$$

Рассмотрим пространство

$$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle_T),$$

где $V$ и $T$ заданы в пункте (b), а $\langle\cdot,\cdot\rangle_T$ определено как в пункте (a).

Пусть

$$U= \operatorname{span} \left\{ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \right\}.$$

Найдите

$$\operatorname{proj}_U \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$

относительно скалярного произведения $\langle\cdot,\cdot\rangle_T$.

Задача 4

(a) (10 баллов) Диагонализуйте матрицу

$$A= \begin{pmatrix} 4&-3&-3\\ 3&-2&-3\\ -1&1&2 \end{pmatrix}.$$

Укажите также обратимую матрицу $P$ и диагональную матрицу $D$ такие, что

$$A=PDP^{-1}.$$

(b) (10 баллов) Найдите $A^3$.

Задача 5

(a) (15 баллов) Приведите квадратичную форму

$$Q(x)=11x_1^2+5x_2^2+2x_3^2+16x_1x_2+4x_1x_3-20x_2x_3$$

к каноническому виду.

(b) (10 баллов) Найдите все значения параметра $\alpha$, при которых квадратичная форма

$$Q(x)=2x_1^2+\alpha x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3$$

отрицательно определена.

Ответ обоснуйте.