Микроэкономика 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2020 final

Совбак ВШЭ и РЭШМикроэкономика 12020final

Задача 1

Бесконечно повторяющаяся игра — 25 баллов

Алиса и Боб играют в бесконечно повторяющуюся игру. Платежи в каждом периоде задаются матрицей:

Алиса \ Боб	$D$	$C$
$D$	$(2,1)$	$(6,-2)$
$C$	$(0,5)$	$(4,2)$

(a) (3 балла) Сформулируйте стратегию переключения (grim trigger strategy), при которой игроки будут играть $(C,C)$ во всех партиях.

(b) (7 баллов) При каких значениях $\delta$ профиль стратегий

(\text{grim trigger},\text{grim trigger})

составляет совершенное подыгровое равновесие по Нэшу?

(c) (6 баллов) Пусть теперь оба игрока используют стратегию «Зуб за зуб» (tit-for-tat strategy):

в первой партии сделать ход $C$ ;
во всех последующих партиях повторять ход противника из предыдущей партии.

При каких значениях $\delta$ профиль стратегий

(\text{tit-for-tat},\text{tit-for-tat})

составляет равновесие по Нэшу?

(d) (9 баллов) При каких значениях $\delta$ профиль стратегий

(\text{tit-for-tat},\text{tit-for-tat})

составляет совершенное подыгровое равновесие по Нэшу?

Задача 2

Межвременной выбор — 20 баллов

Предпочтения потребителя относительно потребления в текущем и будущем периодах представимы функцией полезности

U(c_1,c_2)=u(c_1)+\delta u(c_2),

где

u'(\cdot)>0,\qquad u''(\cdot)<0,\qquad \lim_{x\to0+}u(x)=+\infty.

Здесь:

$\delta$ — субъективный фактор дисконтирования;
$c_t$ — потребление в периоде $t$ , где $t\in\{1,2\}$ .

Доход потребителя в текущем периоде равен $y_1$ , а в будущем периоде — $y_2$ .

Потребитель может занимать и сберегать по одной и той же ставке процента $r$ .

(a) (4 балла) Нарисуйте типичные кривые безразличия.

Являются ли они выпуклыми?

(b) (8 баллов) Предположим, что в текущем периоде потребитель является кредитором.

Верно ли, что:

если ставка процента возрастёт, потребитель останется кредитором;
если ставка процента снизится, потребитель станет заёмщиком?

(c) (8 баллов) Верно ли, что потребитель являлся заёмщиком, если после повышения ставки процента он стал тратить больше средств на текущее потребление?

Задача 3

Последовательная игра — 10 баллов

Найдите все совершенные по подыграм равновесия в следующей игре.

Последовательная игра трёх игроков

Задача 4

Выбор страховки — 20 баллов

Рассмотрим модель выбора страховки.

Пусть:

$\gamma$ — цена единицы страхового покрытия;
$p$ — вероятность наступления страхового события.

Страхование на сумму, превышающую величину потерь, запрещено.

Предпочтения индивида представимы ожидаемой полезностью с дифференцируемой элементарной функцией полезности Бернулли.

Докажите или опровергните следующие утверждения.

(a) (10 баллов) Индивид, нейтральный к риску, будет покупать только актуарно справедливую страховку.

(b) (10 баллов) Существует такое

\gamma\in[p,1),

что индивид, не склонный к риску, откажется от страховки с любым покрытием.

Задача 5

Прокрастинация и present bias — 25 баллов

Вы живёте на планете, где сутки длятся 1000 часов.

Необходимо прочитать 15 страниц за 3 дня.

За $h_t$ часов в день $t$ можно прочесть

p_t=\sqrt[3]{h_t}

страниц, но это приносит дискомфорт

u_t=-h_t.

(a) (5 баллов) Сколько страниц вы прочитаете в каждый день, если ваши предпочтения состоятельны во времени?

Сколько всего часов вы потратите на выполнение задания?

(b) (20 баллов) Сколько страниц вы прочитаете в каждый день, если ваши предпочтения имеют смещение к настоящему (present-biased preferences), но вы наивны (naive person), то есть не можете в будущих периодах правильно предсказывать своё поведение?

Решите задачу для

\delta=1, \qquad \beta=\frac14.

Сколько всего часов вы потратите на выполнение задания?