Микроэкономика 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2026 midterm

Студент Совместного бакалавриата выбирает семинариста, к которому ходить на семинары по Микро-1. Выбор состоит из четырех альтернатив: Даниел, Кирилл (оба преподают на Покровке), Игорь (преподает в РЭШ) и Рита (преподает по субботам). Студент сформулировал 4 критерия, по которым он сравнивает семинаристов:

1. Семинарист с более коротким именем лучше.
2. Объяснения от девушек ему нравятся больше.
3. Чем больше букв «и» в имени, тем лучше.
4. Больше всего ему хочется учиться в РЭШ, но если не получится, то не по субботам.

В итоге он так сформулировал свои предпочтения $\succeq$: он предпочитает семинариста, который строго лучше другого как минимум по двум критериям из четырех.

Рита и Игорь проводят семинары по микроэкономике. Они могут выбрать решать расчетные задачи ($c$) или задачи на доказательства ($p$). Функция полезности Риты имеет вид

$$u_R(c,p)=p+\sqrt{20c}.$$

Игорь расчетные задачи любит не так сильно, его функция полезности равна

$$u_I(c,p)=p+\sqrt{4c}.$$

В семинаре 80 минут. Одна расчетная задача занимает 5 минут, а задача на доказательство — 10 минут. Если это упрощает решение, считайте задачи бесконечно делимыми, ведь никто не запрещает решить только часть задачи.

(а) На сколько больше расчетных задач будет решаться на семинаре Риты по сравнению с семинаром Игоря $(c_R-c_I)$?

(б) Существует ли такое изменение в параметрах времени (время на расчетную задачу, время на доказательную задачу или длительность семинара), при котором Игорь и Рита решают на семинарах одинаковый сет задач $(c_R=c_I)$ (кроме вырожденного случая, когда семинар длится 0 минут, конечно)? Если да, то приведите пример. Если нет, докажите.

Предпочтения индивида $F$ описываются теорией ожидаемой полезности с функцией полезности Бернулли $u_F(x)=\ln(x)$. Его изначальное богатство составляет $w$, однако в результате природного катаклизма индивид может потерять $75\%$ этого богатства. Вероятность катаклизма $F$ оценивает в $20\%$.

(a) Найдите ожидаемое богатство и ожидаемую полезность индивида $F$.

(b) Если рассматривать происходящее с богатством индивида $F$ как лотерею, найдите безрисковый эквивалент $(CE)$ такой лотереи и соответствующую премию за риск.

Фирма $N$ предложила $F$ страховку с премией $\pi$ за единицу покрытия. Размер покрытия $s$, который может быть как больше, так и меньше размера потерь, выбирает сам $F$.

(c) Если страховка актуарно справедлива, то чему равна премия $\pi$ и сколько единиц покрытия выберет $F$? Изобразите задачу выбора размера покрытия и оптимальное решение в координатах контингентных благ.

(d) Найдите оптимальный для $F$ размер покрытия как функцию от $\pi$. Зависит ли доля страхуемого богатства от изначального благосостояния? Для каких $\pi$ индивид будет выбирать размер покрытия больше/меньше своих потенциальных потерь? Объясните графически.

(e) Предположим, что фирма $N$ знает, как устроены предпочтения индивида $F$ и соответственно его спрос на страхование. Какую премию она должна назначить, чтобы максимизировать свою ожидаемую прибыль?