Микроэкономика 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2026 final

1. Предпочтения агента Карабекяна на множестве наборов из двух альтернатив $(X, Y)$ выпуклы и немонотонны. Нарисуйте на плоскости $(X, Y)$ эскиз двух каких-нибудь кривых безразличия агента. На какой из двух кривых безразличия достигается больший уровень полезности агента и почему?
2. Предпочтения агента Карпова на множестве наборов из двух альтернатив $(X, Y)$ невыпуклы и строго монотонны. Нарисуйте на плоскости $(X, Y)$ эскиз двух каких-нибудь кривых безразличия агента. На какой из двух кривых безразличия достигается больший уровень полезности агента и почему?
3. Пять преподавателей курса «Микроэкономика – 1» решают, вставить ли задачу «Блиц» в итоговый вариант экзамена по курсу. Если все четыре семинариста за включение задачи, то она включается в вариант. Если лектор за включение задачи, то она включается в вариант. Если лектор безразличен между включением и невключением задачи в вариант, то для включения задачи нужно, чтобы было три голоса семинаристов в пользу включения. Во всех остальных случаях задача не включается в вариант. Исследуйте соответствующую этому механизму принятия решений функцию общественного выбора на свойства анонимности, нейтральности к альтернативам и положительной отзывчивости. Обоснуйте свой ответ: докажите выполнение свойства или приведите пример профиля, демонстрирующего его нарушение.

Найдите все равновесия Нэша в смешанных стратегиях в игре

Рассмотрим задачу агрегирования предпочтений $n \geqslant 1$ агентов на множестве $k \geqslant 3$ альтернатив. Предпочтения всех агентов и общественные предпочтения рациональны. Рассмотрим предпочтения специального вида:

где $i = 1, \ldots, n$. Будем называть профилями Кондорсе профили предпочтений, в которых каждый агент имеет одни из предпочтений $P_i$, $i \in \{1, \ldots, n\}$. Про функцию общественного выбора $f$ известно, что она обладает свойством единогласия.

1. Докажите, что $f(P_1, \ldots, P_1) = P_1$
2. Докажите, что если профиль предпочтений Кондорсе $(\succ_1, \ldots, \succ_n)$ таков, что $f(\succ_1, \ldots, \succ_n) = P_1$, то в этом профиле $(\succ_1, \ldots, \succ_n)$ хотя бы один агент имеет предпочтения $P_1$.
3. Верно ли, что функция общественного выбора $f$ обязательно обладает свойством независимости от посторонних альтернатив?

На далёком острове живут два индивида $F$ и $R$, которые принимают решение об уровне прикладываемых усилий для выживания и улучшения жизни на острове. Функция полезности каждого индивида $i$ задана как

где $x_i \in [0, 1]$ — это уровень усилий индивида $i \in \{F, R\}$, а $x_j \in [0, 1]$ – уровень усилий другого индивида.

1. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях, если индивиды принимают решения одновременно. Изобразите в координатной плоскости $(x_F, x_R)$ оптимальные ответы каждого игрока для каждого возможного усилия второго игрока $x_F^*(x_R)$, $x_R^*(x_F)$, а также найденные вами равновесия. Нарисуйте этот график большим и аккуратным (он ещё пригодится).

2. У вас должно было получиться, что среди равновесий есть ровно одно равновесие вида $(x_F^0, x_R^0)$, где $0 < x_F^0 \leq x_R^0 < 0.5$. Предположим, вместо того, чтобы играть $x_F^0$, игрок $F$ ненамного отклонился от этого равновесия, скажем, выбрал $x_F^1 = x_F^0 + 0.1$. Найдите оптимальный ответ игрока $R$: $x_R^1 = x_R^*(x_F^1)$, как если бы он мог пронаблюдать отклонение игрока $F$ и затем поменять решение. Затем найдите оптимальный ответ игрока $F$ на это отклонение $x_F^2 = x_F^*(x_R^1)$, как если бы он мог поменять решение уже после того, как его поменял игрок $R$. Изобразите $x_F^1$, $x_R^1$, $x_F^2$ на графике из пункта 1.

3. К чему сойдутся последовательности $\{x_F^n\}_{n=1}^{\infty}$, $\{x_R^n\}_{n=1}^{\infty}$, если продолжить данную логику до бесконечности (достаточно сформулировать гипотезу)? Как это будет выглядеть на графике? Будет ли верен аналогичный результат для произвольного другого изначального небольшого отклонения, не обязательно в бОльшую сторону (достаточно сформулировать гипотезу)?

   Общую формулу $x_F^n$, $x_R^n$ выводить не нужно. Строго доказывать сходимость тоже не нужно.

4. У вас должно было получиться, что среди равновесий есть ровно одно равновесие вида $(x_F^0, x_R^0)$, где $0.5 < x_F^0 \leq x_R^0 < 1$. Повторите пункт 3 для этого равновесия. В чем фундаментальное различие между картинками для двух данных равновесий?

5. Для каждого из остальных равновесий определите, будут ли аналогичная картинка и поведение последовательностей $\{x_F^n\}_{n=1}^{\infty}$, $\{x_R^n\}_{n=1}^{\infty}$ больше похожи на пункт 3 или на пункт 4.

Вы – начинающий инвестор, который хочет вложиться в активы разных минибаров отелей Москвы. Есть 4 отеля, минибары которых предоставляют разную годовую доходность. Активы данных четырех отелей, их матожидание доходности $(r)$ и стандартные отклонения доходности $(\sigma)$ отображены на рисунке ниже:

1. Покажите схематически на рисунке, какие точки $(\sigma, r)$ можно получить, если в портфель можно включить не более двух изначальных активов (точные расчеты не нужны). Выделите на графике схематично эффективную границу: множество точек (портфелей), для каждой из которых невозможно найти другой портфель с более высокой доходностью и таким же или меньшим риском. Говоря иначе, для каждого возможного уровня риска она должна показывать наилучший с точки зрения доходности портфель.
2. В этом и дальнейших пунктах предположите, что все возможные линейные комбинации двух портфелей в координатах $(\sigma, r)$ являются отрезками. Проиллюстрируйте графически в координатах $(\sigma, r)$ множество всех возможных рыночных портфелей, которые можно получить, комбинируя всевозможными способами изначальные 4 актива.

Перейдем к портфельной оптимизации. Вы являетесь инвестором с функцией полезности

которая зависит от доходности и дисперсии портфеля $P$.

3. Прокомментируйте смысл коэффициента $\gamma$ с точки зрения экономической интуиции.
4. На множестве возможных портфелей из пункта 2 найдите оптимальный портфель для инвестора. Проиллюстрируйте оптимум графически.

Вы находите отель в центре столицы с доходностью активов минибара $r_f > 0$. При этом постояльцы отеля предъявляют настолько стабильный спрос на минибары, что дисперсия доходности $\sigma_f = 0$. В этот безрисковый актив $(\sigma_f, r_f)$ вы тоже можете вкладываться.

5. Найдите такой портфель из найденного в пункте 2 множества портфелей, который в комбинации с безрисковым активом максимально расширяет доступное множество $(\sigma, r)$.
6. Допустим, что $r_f = 0.6$ и $\gamma = 1.4$. Какой в итоге портфель из минибаров вы соберете (безрисковый актив тоже можно использовать)? В какой пропорции вы будете покупать данные 5 активов?