Математический анализ 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2018 final

Какие из следующих утверждений верны? В каждом пункте начните ответ со слов «Верно» или «Неверно». Приведите доказательство или контрпример.

1. Если функциональный ряд

   $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$$

   поточечно сходится на $[0,1]$ к $a(x)$ и $a_n(x)\geq0$ при всех $x$ и $n$, то функциональный ряд

   $$\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_n(x)}$$

   поточечно сходится на $[0,1]$ к $\sqrt{a(x)}$.

2. Если пределы

   $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)+o(x^5)}{g(x)}$$

   и

   $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}$$

   существуют, то они равны.

3. Произведение двух различных иррациональных чисел является иррациональным числом.

4. Для любой интегрируемой на $[-2,2]$ нечётной функции $f$ определённый интеграл

   $$\int_{-2}^{2}f(x)\,dx$$

   равен нулю.

5. Если каждая точка множества $A$ является предельной точкой множества $A$, то множество $A$ замкнуто.

Дана функция

$$f(x)=-x^3+2x^2+4x-8.$$

Найдите точки локальных и глобальных экстремумов функции

$$g(x)=\int_{-3}^{x}f(t)\,dt,$$

определённой на множестве $x\geq-3$.

Пусть функция $f$ дифференцируема на $\mathbb R$, причём

$$m\leq f'(x)\leq M$$

для всех $x\in\mathbb R$. Пусть $f(x_0)=1$.

Предложите и докажите верхнюю и нижнюю оценки для $f(2x_0)$.

Последовательности $p_n$ и $q_n$ определены формулами

$$p_1=a, \qquad p_{n+1}=\sqrt{p_nq_n},$$ $$q_1=b, \qquad q_{n+1}=\frac{p_n+q_n}{2},$$

где $a,b\geq0$.

1. Докажите, что для любых неотрицательных $x$ и $y$

   $$\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}.$$

2. Докажите, что последовательность $p_n$ сходится.

3. Докажите, что последовательность $q_n$ сходится.

4. Докажите, что пределы последовательностей $p_n$ и $q_n$ равны.

Вычислите пределы.

1. $$\lim_{x\to-\infty}\frac{\ln(1+3^x)}{\ln(1+2^x)}.$$

$$\lim_{x\to0} \frac{\sin x\cdot\sin2x\cdot\sin4x\cdots\sin2048x} {\ln(1+x)\cdot\ln(1+2x)\cdot\ln(1+4x)\cdots\ln(1+2048x)}.$$

$$\lim_{x\to+\infty} \left(x^3-x^2+\frac{x}{2}\right)e^{1/x}-\sqrt{x^6+1}.$$

Найдите интегралы.

1. $$\int_0^1\frac{e^{2x}+1}{e^x+1}\,dx.$$

$$\int \arcsin(2x)\,dx.$$

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2x)\cos(4x)\,dx.$$

$$\int\frac{\sqrt{x^2+2}}{x^2+1}\,dx.$$

$$\int\frac{2\sin x+\cos x}{3\sin x+4\cos x-2}\,dx.$$

Исследуйте ряды на сходимость.

1. $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n,$$

   где $a_n$ — арифметическая прогрессия.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2-16n+12}.$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{nx}}, \qquad x\in\mathbb R.$$

Дана функция

$$f(x)=e^{2x-x^2+1}.$$

Постройте эскиз её графика. Укажите:

• область определения;
• точки разрыва;
• интервалы возрастания и убывания;
• локальные и глобальные экстремумы и точки экстремума;
• вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты;
• промежутки выпуклости и вогнутости;
• точки перегиба.