Математический анализ 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2020 final

Пользуясь только определением предела по Коши и алгебраическими преобразованиями, найдите предел

$$\lim_{x\to-3}(3x^2+4x).$$

Найдите значение выражения

$$(i-1)^{2020}.$$

Представьте ответ в виде $x+iy$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, а $i$ — мнимая единица. В выражениях для $x$ и $y$ можно использовать обычные арифметические операции, включая возведение в целочисленную степень.

Найдите все первые частные производные функции

$$f(x,y)=xe^{2\cos(xy)-5}.$$

Пользуясь любыми утверждениями, доказанными на лекциях или сформулированными в семинарских листочках, в том числе в виде задач, найдите предел

$$\lim_{x\to+\infty}\left(x^2e^{2/x}-x^2-2x\right).$$

Рассмотрите функцию

$$f(x)=\frac{(x+1)^3}{(x+1)^2-1}.$$

Найдите её естественную область определения, промежутки непрерывности, точки разрыва, асимптоты всех типов, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и корни.

Постройте график функции. Отметьте на нём точки экстремума с их $x$- и $y$-координатами, корни и асимптоты.

Рассмотрите функцию

$$f(x)=\left(\int_{-1}^{x-1}e^{-t^2-2t}\,dt\right)-x.$$

Найдите её естественную область определения, промежутки непрерывности, точки разрыва, асимптоты всех типов — для наклонных асимптот достаточно найти угловой коэффициент, — промежутки возрастания и убывания, $x$-координаты точек экстремума и хотя бы один корень.

Постройте график функции. Отметьте на нём точки экстремума с их $x$-координатами; $y$-координаты можно не находить. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба и отметьте их на графике.

Докажите, что функция имеет ровно три различных корня.

Найдите интегралы. Если интеграл несобственный, исследуйте его сходимость: если он расходится, докажите это; если сходится, найдите его значение.

(a) (15 баллов)

$$\int_0^4\max(x^2,4x-3)\,dx.$$

(b) (15 баллов)

$$\int_0^2\ln^2|2t-2|\,dt.$$

Рассмотрите последовательность

$$b_n=(n+7)^\alpha-n^\alpha, \qquad \alpha\geq0,$$

где $\alpha$ — вещественный параметр.

(a) (15 баллов) Найдите

$$\lim_{n\to\infty}b_n$$

в зависимости от $\alpha$.

(b) (5 баллов) Найдите все значения $\alpha$, при которых сходится ряд

$$\sum_{n=1}^{\infty}b_n.$$

Известно, что функция $f$ всюду дифференцируема и

$$f(x)=O(x^4)$$

при $x\to+\infty$.

Верны ли следующие утверждения? Обоснуйте ответы.

(a) (10 баллов)

$$f'(x)=O(x^3).$$

(b) (10 баллов)

$$\int_0^xf(t)\,dt=O(x^5).$$