Математический анализ 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2021 final

Сходится ли ряд? Если да, найдите его сумму; если нет, докажите, что он расходится.

(a)

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+13n+40}.$$

(b)

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{1/3}\ln(5n)}.$$

Найдите неопределённый или определённый интеграл. Если определённый интеграл несобственный, укажите это и исследуйте его сходимость. Если он расходится, докажите это; если сходится, найдите его значение. При вычислении неопределённого интеграла не забывайте константу.

(a)

$$\int\ln\left(\frac{x-4}{x-6}\right)\,dx.$$

(b)

$$\int_1^9\ln\left|\frac{x-4}{x-6}\right|\,dx.$$

(c)

$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|2x-7|}\,dx.$$

Найдите все вещественные и комплексные корни уравнения

$$z^3-6z^2+34z=0.$$

Найдите частные производные по всем переменным функции

$$F(x,y)=\int_{4x}^{2y}\cos\left(\sin\left(e^{3t}\right)\right)\,dt.$$

Рассмотрите функцию

$$f(x)=\ln\left(4\ln\left(\ln\left(4x^3-4\alpha x+e\right)\right)\right).$$

Для всех значений вещественного параметра $\alpha$ найдите; параметр $\alpha$ может входить в ответы:

1. область определения функции;
2. множество точек, на которых функция непрерывна, с доказательством;
3. точки локального максимума или минимума, если они существуют; достаточно найти соответствующие значения $x$;
4. промежутки возрастания и убывания;
5. вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Пусть функция $f$ имеет $(n+1)$ непрерывную производную в некоторой окрестности точки $x_0$. Докажите, что

$$f(x)=f(x_0)+\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +O\left((x-x_0)^{n+1}\right)$$

при $x\to x_0$.

Можно пользоваться всеми утверждениями, доказанными на лекциях и включёнными в семинарские листочки в виде задач.

Пусть функция $f$ определена и непрерывна на промежутке $[3,+\infty)$, неотрицательна и невозрастает всюду, где определена, а также выпукла вниз.

Докажите или опровергните утверждение: интеграл

$$\int_3^{+\infty}f(x)\,dx$$

сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл

$$\int_3^{+\infty} \left( f(\lfloor x\rfloor)(\lfloor x\rfloor+1-x) +f(\lfloor x\rfloor+1)(x-\lfloor x\rfloor) \right)\,dx,$$

где $\lfloor x\rfloor$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Известно, что $f(0)=0$, функция $f$ дифференцируема в нуле и

$$f'(0)=4.$$

Для произвольного $x\in\mathbb R$ найдите

$$\lim_{n\to+\infty}3^n f\left(\frac{x}{3^n}\right).$$