Математический анализ 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2019 final

Рассмотрим функцию $f$, определённую на отрезке $[-5,-3]$ и заданную формулой

$$f(x)=x^4.$$

Пусть $g$ — функция, обратная к $f$.

1. Задайте функцию $g$ формулой. Укажите её область определения и область значений.
2. Постройте график $g$.
3. Найдите уравнение касательной к графику $g$ в точке $x=-4$ и постройте эту касательную на графике.

Рассмотрите функцию

$$f(x)=xe^{-2x^2}.$$

Найдите её область определения, экстремумы и значения в них, промежутки монотонности, вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты, точки разрыва и их типы, а также односторонние пределы около точек разрыва.

Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба. На основе полученной информации постройте график функции и отметьте на нём точки экстремума, точки перегиба и асимптоты.

Рассмотрите функцию

$$f(x)=x^5\ln(3x).$$

Найдите односторонний предел функции при $x\to0$. Доопределите функцию в этой точке по непрерывности: рассмотрите функцию $\widetilde f$, совпадающую с $f$ во всех точках, кроме $x=0$, и принимающую в $x=0$ значение, при котором $\widetilde f$ односторонне непрерывна.

Имеет ли $\widetilde f$ одностороннюю производную в точке $x=0$? Если да, найдите её. Найдите односторонний предел производной $\widetilde f$ при $x\to0+$. Проведите полное исследование $\widetilde f$, как в задаче 2, и постройте её график.

Найдите интегралы.

(a)

$$\int_{-2}^{4}(4x+8)^8\,dx.$$

(b)

$$\int_0^3x^5\ln(3x)\,dx.$$

(c)

$$\int_0^{\pi/2}-\cos x\cos(\sin x)\,dx.$$

(d)

$$\int_7^{+\infty}\frac{dx}{(x-3)^2}.$$

Сходится ли ряд? Обоснуйте ответ.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{n^{7/5}+n}.$$

Рассмотрите функцию

$$f(x)=\sin\left(\sqrt[3]{7x}\right)-\sqrt[3]{7x}.$$

Дифференцируема ли она в точке $x=0$? Если да, найдите её производную в этой точке.

Пусть функция $f$ дифференцируема в точке $x=4$ и $f(4)=1$. Пусть также функция

$$g(x)=|f(x)-1|$$

дифференцируема в точке $x=4$.

Найдите $f'(4)$ и $g'(4)$.

Функция $f$ восемь раз дифференцируема в точке $x=x_0$, причём

$$f^{(1)}(x_0)=f^{(2)}(x_0)=f^{(3)}(x_0)=f^{(4)}(x_0)=0,$$ $$f^{(5)}(x_0)=f^{(6)}(x_0)=f^{(7)}(x_0)=0, \qquad f^{(8)}(x_0)=1.$$

Может ли точка $x_0$ быть точкой максимума функции $f$? Точкой минимума? Может ли она не быть ни точкой максимума, ни точкой минимума? Обоснуйте ответ.