Математический анализ 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2020 midterm

Рассмотрим последовательность $\{a_n\}$, заданную следующим образом:

$$a_0=2,\qquad a_1=-3,$$ $$a_{n+1}=10a_{n-1}-3a_n, \qquad n=1,2,3,\ldots$$

Докажите по индукции, что для любого натурального $n$

$$a_n=(-5)^n+2^n.$$

Пусть функция $f$ определена на всей числовой оси и справедливо утверждение, где $A$ и $C$ — вещественные числа:

$$\forall C\neq 0\ \exists A\neq 0\ \forall x\in\mathbb R: \quad x^8>A^4\ \Rightarrow\ (f(x))^4<C^8.$$

Найдите

$$\lim_{x\to\infty}f(x),$$

если этот предел существует, и докажите, что он такой. Если предел равен бесконечности, докажите это.

Пользоваться можно только определением предела по Коши или по Гейне и алгебраическими преобразованиями. Никакими теоремами о пределах пользоваться нельзя. Можно использовать тот факт, что корень произвольной натуральной степени определён для всех положительных чисел и монотонно возрастает.

Угадайте предел и докажите, что он действительно такой, пользуясь только определением предела и алгебраическими преобразованиями. Никакими теоремами о свойствах пределов, непрерывностью функций и логарифмами пользоваться нельзя. Можно пользоваться неравенством Бернулли.

Явно найдите значение $\delta$ или $N$ из определения предела, соответствующее $\varepsilon=\frac{1}{10}$. Ответ можно оставить в виде числового выражения, содержащего арифметические операции, минимум, максимум и подобные функции.

(a) (10 баллов)

$$\lim_{x\to2}\sqrt{4x-4}.$$

(b) (15 баллов)

$$\lim_{n\to\infty}\frac{6n+2}{4n}\left(\frac13\right)^{1/n}.$$

Для каждой функции:

• найдите естественную область определения;
• найдите все точки разрыва и установите их тип: скачок, устранимый разрыв или разрыв второго рода;
• установите, существуют ли точки, в которых функцию можно доопределить или переопределить так, чтобы она стала непрерывной;
• найдите все вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Можно пользоваться всеми фактами, доказанными на лекциях или включёнными в семинарские листочки в качестве задач.

(a) (10 баллов)

$$f(x)=\frac{\sin(4x)}{x^2-3x}.$$

(b) (10 баллов)

$$f(x)=\exp\left(\frac{x}{|x|}(-3x+3)\right)+2x.$$

Пусть функция $f$ определена и непрерывна на отрезке

$$I=[0,2].$$

Рассмотрим образ отрезка $I$ под действием $f$:

$$f(I):=\{f(x)\mid x\in I\}.$$

Докажите, что существует точка $c\in I$, для которой $f(c)=c$, если:

(a) (10 баллов)

$$f(I)\subseteq I.$$

(b) (10 баллов)

$$f(I)\supseteq I.$$

Пусть функция $f$ определена в некоторой проколотой окрестности точки $x_0=-1$ и существует предел

$$\lim_{x\to-1}f(x)=-1.$$

Пусть функция $g$ определена в некоторой окрестности точки $-1$ и не является непрерывной в этой точке, хотя имеет в ней предел. Также известно, что

$$\lim_{x\to-1}g(f(x))=\lim_{y\to-1}g(y).$$

Докажите или опровергните утверждение: обязательно найдётся проколотая окрестность $\mathring U$ точки $-1$, такая что для всех $x\in\mathring U$

$$f(x)\neq-1.$$