Математический анализ 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2019 midterm

Верно ли утверждение? Если да, докажите его. Если нет, запишите отрицание таким образом, чтобы знак отрицания не стоял перед квантором, и докажите отрицание.

Все переменные принадлежат $\mathbb R$.

1. $\exists v\ \forall q:\ qv+3>q$.
2. $\exists v\ \forall q:\ qv+3<q$.

Угадайте предел последовательности и докажите, что он действительно такой, пользуясь определением предела. Если предел равен бесконечности — плюс бесконечности или минус бесконечности, — докажите это. Никакими утверждениями о пределах, кроме определений, пользоваться нельзя.

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt{49+\frac{1}{-9n+8}}.$$

Угадайте предел функции и докажите, что он действительно такой, пользуясь определением предела функции по Коши, с эпсилонами и дельтами. Если предел равен бесконечности — плюс бесконечности или минус бесконечности, — докажите это. Никакими утверждениями о пределах, кроме определений, пользоваться нельзя.

$$\lim_{x\to-6}\frac{x-4}{x+6}.$$

Для каждой функции:

• найдите естественную область определения, то есть множество всех $x$, при которых выражение определено;
• определите, является ли функция ограниченной;
• найдите все точки разрыва и установите их тип: скачок, устранимый разрыв, полюс или существенный разрыв;
• установите, существуют ли точки, в которых функцию можно доопределить или переопределить так, чтобы она стала непрерывной;
• найдите все вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Можно пользоваться всеми фактами, доказанными на лекциях или включёнными в семинарские листочки в качестве задач.

(a) (10 баллов)

$$f(x)=\exp\left(\frac{1}{(x+9)(x+3)^2}\right).$$

(b) (10 баллов)

$$f(x)=\frac{-9x^9+5^{-x}}{x^8+4\cdot 6^{-x}}.$$

Пусть функции $f$ и $g$ определены и непрерывны на отрезке $[-1,8]$. Верно ли, что функция

$$h(x)=\min\bigl(f(x),g(x)\bigr)$$

также непрерывна на отрезке $[-1,8]$? Если да, докажите. Если нет, приведите контрпример.

В этой задаче можно пользоваться всеми утверждениями, доказанными на лекциях или включёнными в семинарские листочки в виде задач.

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb R$ и всюду строго монотонно возрастает: для любых $x_1,x_2\in\mathbb R$, если $x_1>x_2$, то $f(x_1)>f(x_2)$.

Рассмотрим два утверждения:

$$\lim_{n\to\infty}f\left(\frac{(-1)^n}{3n+6}-4\right)=-2, \qquad n\in\mathbb N. \tag{1}$$ $$\lim_{x\to-4}f(x)=-2, \qquad x\in\mathbb R. \tag{2}$$

(a) (5 баллов) Верно ли, что из (2) следует (1)? Докажите.

(b) (15 баллов) Верно ли, что из (1) следует (2)? Докажите.