Математический анализ 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2022 midterm

Докажите утверждение, пользуясь только определением предела, для функций — по Коши, преобразованиями утверждений с кванторами и алгебраическими преобразованиями. Никакими фактами о пределах, включая единственность предела, пользоваться нельзя: всё необходимо доказывать явно. Логарифмами пользоваться нельзя. При необходимости можно использовать неравенство Бернулли.

(a)

Докажите, что неверно утверждение

$$\lim_{x\to-1}\frac{x-35}{7}=-5.$$

(b)

Докажите, что верно утверждение

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n+3}}{n-6}=0.$$

Найдите предел последовательности

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{7}{6n}\right)^{5n+8}.$$

Можно пользоваться всеми фактами, сформулированными на лекциях, включёнными в семинарские листочки и домашние задания, а также их прямыми аналогами. В ответе могут использоваться значения элементарных функций: тригонометрических, логарифмов и экспоненты. Если предел равен бесконечности, плюс бесконечности или минус бесконечности, докажите это.

Найдите предел функции

$$\lim_{x\to-\infty}\exp\left(\frac{4^x+5^{-x}}{-7^x+6^{-x}}\right).$$

Можно пользоваться всеми фактами, сформулированными на лекциях, включёнными в семинарские листочки и домашние задания, а также их прямыми аналогами. В ответе могут использоваться значения элементарных функций: тригонометрических, логарифмов и экспоненты. Если предел равен бесконечности, плюс бесконечности или минус бесконечности, докажите это.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\frac{x^2+9x+14}{x-a},$$

где $a$ — параметр, принимающий произвольное фиксированное вещественное значение.

Исследуйте функцию в зависимости от значения $a$:

1. Найдите естественную область определения функции.
2. Найдите все точки разрыва, установите их тип: скачок, устранимый разрыв или разрыв второго рода. Найдите пределы слева и справа или докажите, что они не существуют.
3. Установите, существуют ли точки, в которых функцию можно доопределить или переопределить так, чтобы она стала непрерывной.
4. Найдите все вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
5. Верно ли, что для любого отрезка $[A,B]$ функция ограничена на пересечении этого отрезка с её областью определения?

Ответы могут задаваться формулами, содержащими $a$, и иным образом зависеть от $a$. Все утверждения необходимо доказывать. Например, если указаны точки разрыва, нужно доказать, что все остальные точки являются точками непрерывности.

Можно пользоваться всеми фактами, доказанными на лекциях или включёнными в семинарские листочки в качестве задач.

Рассмотрим функцию $f$, определённую на $\mathbb R$. Известно, что

$$\lim_{x\to0}f\left(6\cos\left(\frac{5\pi}{x}\right)\right)=-4.$$

Найдите $f(3)$, если это можно сделать однозначно, либо докажите, что данных недостаточно.