Математический анализ 1 — Совбак ВШЭ и РЭШ, 2025 final

Какие из перечисленных утверждений являются верными?

В каждом пункте начните ответ со слов «Верно» или «Неверно». Приведите доказательство или контрпример.

1. При $x\to+\infty$ справедливо соотношение

   $$\sqrt{|o(x^2)|}=o(x).$$

2. Пусть $X\subseteq\mathbb R$, функция $f(x)$ определена на $X$, а $F_1(x)$ и $F_2(x)$ — две первообразные функции $f(x)$ на $X$. Тогда существует константа $c\in\mathbb R$ такая, что

   $$F_1(x)=F_2(x)+c.$$

3. Если для некоторой определённой на $\mathbb R$ функции $f(x)$ и любого $a\in\mathbb R$ выполняется

   $$\int_{a-1}^{a}f(x)\,dx=1,$$

   то $f(x)$ — константа на всей вещественной прямой.

4. Пусть $f(x)$ интегрируема на $[1,+\infty)$, а

   $$F(x)=\int_1^x f(t)\,dt.$$

   Тогда $F(x)$ — первообразная $f(x)$ на $[1,+\infty)$.

5. Пусть $A\subseteq\mathbb R$, а $B$ — множество всех предельных точек $A$. Тогда $A\cup B$ — замкнутое множество.

Дана функция

$$f(x)=\frac{1}{4^x}-x.$$

Постройте эскиз графика $f(x)$.

Укажите область определения и найдите множество всех значений $f(x)$. Укажите точки разрыва. Укажите интервалы возрастания и убывания $f(x)$. Найдите точки локальных и глобальных экстремумов, а также сами локальные и глобальные экстремумы.

Найдите вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Укажите промежутки, на которых функция $f(x)$ выпукла и вогнута.

Вычислите пределы:

1. $$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+2x-x^2+x^3)-\sin(4x^2)\cos(\pi x)} {x+x^2-x^3}.$$
2. $$\lim_{x\to1} \frac{\sin(\cos(\pi x))+2\tan((x-1)^3)} {\cos(\sin(x-1))-1+\tan((x-1)^2)}.$$
3. $$\lim_{x\to+\infty} \left((x+2)\ln(x+2)-2(x+1)\ln(x+1)+x\ln x\right).$$

Найдите неопределённые интегралы и укажите области, на которых они определены:

1. $$\int \sin(2x)\cos(4x)\,dx.$$
2. $$\int\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}.$$
3. $$\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}.$$

Найдите несобственный интеграл или докажите, что он расходится:

$$\int_0^1\frac{x^2+1}{x^3}\,dx.$$

Найдите интеграл или докажите, что он не существует:

$$\int_0^1 xD(x)\,dx,$$

где $D(x)$ — функция Дирихле.

Исследуйте ряды на сходимость:

1. $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\sqrt[n]{2n+5}}{\ln n}.$$
2. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{2^{n^2}}.$$

Василий Иванович взял в банке кредит в сумме $N$ на бесконечное количество лет.

Каждый год он обязан платить в качестве процентов долю $\delta\in(0,1)$ от оставшегося тела кредита. Например, за первый год он заплатит в качестве процентов $\delta N$.

Василий Иванович решил погашать тело кредита по следующему правилу: каждый год он будет уменьшать тело кредита на долю $\alpha\in(0,1)$. Например, во второй год его задолженность составит $N-\alpha N$.

1. Определите общую сумму

   $$S=S(\alpha,\delta),$$

   которую Василий Иванович выплатит банку в качестве процентов за всю жизнь.

2. Предположим, что у Василия Ивановича нет собственных накоплений, ежегодный заработок равен $I$, потребление равно нулю, а альтернативных способов инвестирования нет.

   Определите разницу в переплаченных процентах между выбранной Василием Ивановичем стратегией погашения кредита и оптимальной для него стратегией.

Вовочка проводит всевозможные касательные к части графика функции

$$f(x)=\frac1x,$$

лежащей в первой четверти координатной плоскости.

Каждая касательная отсекает от осей координат треугольник. Среди всех таких треугольников найдите треугольник с наименьшей и наибольшей площадью, если они существуют.

Чему равны наименьшая и наибольшая площади?

Определите область сходимости функционального ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2e^{5nx}}.$$